Question

15．如圖，兩個(gè)相似的等腰△ABC、△DEF的底邊BC、EF均平行于y軸，$\frac{BC}{EF}$=$\frac{1}{2}$，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A、C，F(xiàn)都在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）在第一象限內(nèi)的圖象上，且A的縱坐標(biāo)是3，則BC的長(zhǎng)是$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 連接AD并延長(zhǎng)交EF于點(diǎn)M，則點(diǎn)D、M的縱坐標(biāo)均為3，設(shè)BC=a，EF=2a，用函數(shù)k、a的代數(shù)式表示出點(diǎn)A、C、F的坐標(biāo)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出$\frac{AD}{DM}=\frac{BC}{EF}$，即$\frac{\frac{k}{3-\frac{1}{2}a}-\frac{k}{3}}{\frac{k}{3-a}-\frac{k}{3-\frac{1}{2}a}}=\frac{1}{2}$，解方程即可得出a值．

解答 解：連接AD并延長(zhǎng)交EF于點(diǎn)M，如圖所示．
設(shè)BC=a，EF=2a，
∵△ABC∽△DEF，AB=AC，DE=DF，D是BC的中點(diǎn)，BC、EF均平行于y軸，
∴M為EF的中點(diǎn)．
∵A的縱坐標(biāo)是3，
∴點(diǎn)D、M的縱坐標(biāo)為3，
∵點(diǎn)A、C，F(xiàn)都在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）在第一象限內(nèi)的圖象上，
∴A（$\frac{k}{3}$，3），C（$\frac{k}{3-\frac{1}{2}a}$，3-$\frac{1}{2}$a），F(xiàn)（$\frac{k}{3-a}$，3-a）．
∵△ABC∽△DEF，
∴$\frac{AD}{DM}=\frac{BC}{EF}$，$\frac{\frac{k}{3-\frac{1}{2}a}-\frac{k}{3}}{\frac{k}{3-a}-\frac{k}{3-\frac{1}{2}a}}=\frac{1}{2}$，
解得：a=$\frac{3}{2}$，
經(jīng)檢驗(yàn)a=$\frac{3}{2}$是分式方程的解．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰三角形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出關(guān)于k、a的分式方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征找出點(diǎn)的坐標(biāo)特征，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)找出相似邊的比例是關(guān)鍵．