Question

18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，點B的坐標(biāo)為（3，0），將直線y=-x沿y軸向上平移3個單位長度后恰好經(jīng)過B，C兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線的頂點為D，點P在拋物線的對稱軸上，且∠APD=∠ACB，求點P的坐標(biāo)；
（3）連結(jié)CD，求∠OCA與∠OCD兩角和的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平移的規(guī)律，可得BC的解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得B、C點坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得BC的解析式；
（2）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得A、B、C點坐標(biāo)，根據(jù)配方法，可得D點坐標(biāo)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得BC的長，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得PF的長，根據(jù)線段的和差，可得F點坐標(biāo)；
（3）根據(jù)軸對稱，可得A′點，根據(jù)勾股定理，可得A′C，A′D，根據(jù)勾股定理的逆定理，可得∠CA′D=90°，根據(jù)等量代換，可得答案．

解答 解：（1）直線y=-x沿y軸向上平移3個單位長度后經(jīng)過y軸上的點C，得
y=-x+3，即C（0，3），（3，0）．
拋物線y=x²+bx+c過點B，C，
$\left\{\begin{array}{l}{9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$．
故拋物線的解析式為y=x²-4x+3．
（2）由y=x²-4x+3，當(dāng)y=0時，x²-4x+3=0，解得x=1，x=3，即A（1，0），B（3，0）．
y=x²-4x+3=（x-2）²-1，D（2，-1）．
∴OB=3，OC=3，OA=1，AB=2．
可得△OBC是等腰直角三角形．
∴∠OBC=45°，CB=3$\sqrt{2}$．
如圖1，設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于點F，

AF=$\frac{1}{2}$AB=1．
過點A作AE⊥BC于點E．
∴∠AEB=90°．
可得BE=AE=$\sqrt{2}$，CE=2$\sqrt{2}$．
在△AEC與△AFP中，∠AEC=∠AFP=90°，∠ACE=∠APF，
∴△AEC∽△AFP．
∴$\frac{AE}{AF}$=$\frac{CE}{PF}$，$\frac{\sqrt{2}}{1}$=$\frac{2\sqrt{2}}{PF}$．
解得PF=2．
點P在拋物線的對稱軸上，
∴點P的坐標(biāo)為（2，2）或（2，-2）．
（3）如圖2，作點A（1，0）關(guān)于y軸的對稱點A′，則A′（-1，0）．  

連結(jié)A′C，A′D，
可得A′C=AC=$\sqrt{10}$，∠OCA′=∠OCA．
由勾股定理可得CD²=20，A′D²=10．
又∵A′C²=10，
∴A′D²+A′C²=CD²．
∴△A′DC是等腰直角三角形，∠CA′D=90°，
∴∠DCA′=45°．
∴∠OCA′+∠OCD=45°．
∴∠OCA+∠OCD=45°．
即∠OCA與∠OCD兩角和的度數(shù)為45°．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系得出B、C點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵；利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出PF的長是解題關(guān)鍵；利用勾股定理的逆定理得出∠CA′D=90°是解題關(guān)鍵．