Question

【題目】我們知道，三角形的內心是三條角平分線的交點，過三角形內心的一條直線與兩邊相交，兩交點之間的線段把這個三角形分成兩個圖形．若有一個圖形與原三角形相似，則把這條線段叫做這個三角形的“內似線”．

（1）等邊三角形“內似線”的條數(shù)為　 　；

（2）如圖，△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，求證：BD是△ABC的“內似線”；

（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E、F分別在邊AC、BC上，且EF是△ABC的“內似線”，求EF的長．

Answer 1

【答案】(1)1；（2）證明見解析；（3）EF的長是.

【解析】試題分析：（1）過等邊三角形的內心分別作三邊的平行線，即可得出答案；

（2）由等腰三角形的性質得出∠ABC=∠C=∠BDC，證出△BCD∽△ABC即可；

（3）分兩種情況：①當時，EF∥AB，由勾股定理求出AB==5，作DN⊥BC于N，則DN∥AC，DN是Rt△ABC的內切圓半徑，求出DN=（AC+BC-AB）=1，由幾啊平分線定理得出，求出CE=，證明△CEF∽△CAB，得出對應邊成比例求出EF=；

②當時，同理得：EF=即可．

試題解析：（1）等邊三角形“內似線”的條數(shù)為3條；理由如下：

過等邊三角形的內心分別作三邊的平行線，如圖1所示：

則△AMN∽△ABC，△CEF∽△CBA，△BGH∽△BAC，

∴MN、EF、GH是等邊三角形ABC的內似線”；

（2）∵AB=AC，BD=BC，

∴∠ABC=∠C=∠BDC，

∴△BCD∽△ABC，

∴BD是△ABC的“內似線”；

（3）設D是△ABC的內心，連接CD，

則CD平分∠ACB，

∵EF是△ABC的“內似線”，

∴△CEF與△ABC相似；

分兩種情況：①當時，EF∥AB，

∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，

∴AB==5，

作DN⊥BC于N，如圖2所示：

則DN∥AC，DN是Rt△ABC的內切圓半徑，

∴DN=（AC+BC-AB）=1，

∵CD平分∠ACB，

∴，

∵DN∥AC，

∴，即，

∴CE=，

∵EF∥AB，

∴△CEF∽△CAB，

∴，即，

解得：EF=；

②當時，同理得：EF=；

綜上所述，EF的長為．