Question

已知二次函數(shù)y=ax2+bx-

3

2

(a≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，0），和（-3，0），反比例函數(shù)y1=

k

x

（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，2）．
（1）求這兩個(gè)二次函數(shù)的解析式，并在給定的直角坐標(biāo)系中作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象；
（2）若反比例函數(shù)y1=

k

x

（x＞0）的圖象與二次函數(shù)y=ax2+bx-

3

2

(a≠0)）的圖象在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)A（x₀，y₀），x₀落在兩個(gè)相鄰的正整數(shù)之間．請(qǐng)你觀察圖象寫出這兩個(gè)相鄰的正整數(shù)；
（3）若反比例函數(shù)y2=

k

x

（k＞0，x＞0））的圖象與二次函數(shù)y=ax2+bx-

3

2

(a≠0)的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為A，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)x₀滿足2＜x₀＜3，試求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把（1，0），和（-3，0）分別代入函數(shù)關(guān)系式得到方程組，解方程組，得 a=

1

2

，b=1，所以拋物線解析式為y=

1

2

x2+x-

3

2

；根據(jù)反比例函數(shù)y1=

k

x

的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，2），求得k=2．進(jìn)而求得函數(shù)的解析式；
（2）觀察函數(shù)的圖象可以得到相鄰的兩個(gè)正整數(shù)為1和2；
（3）由函數(shù)圖象或函數(shù)性質(zhì)可知兩個(gè)函數(shù)的增減性．所以當(dāng)x₀=2時(shí)，反比例函數(shù)圖象在二次函數(shù)的圖象上方，得y₂＞y并由此解得k的取值范圍，二次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象上方的，得y＞y₂，并由此也可以求得k的取值范圍，從而得到k完整的取值范圍．

解答：解：（1）把（1，0），和（-3，0）分別代入y =ax2+bx-

3

2

(a≠0)
解方程組，得 a=

1

2

，b=1．…（1分）
∴拋物線解析式為y=

1

2

x2+x-

3

2

…（2分）
∵反比例函數(shù)y1=

k

x

的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，2），
∴k=2．∴y1=

2

x

…．…（3分）

（2）正確的畫出二次函數(shù)和反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象

 …．（4分）
由圖象可知，這兩個(gè)相鄰的正整數(shù)為1與2．…（5分）

（3）由函數(shù)圖象或函數(shù)性質(zhì)可知：當(dāng)2＜x＜3時(shí)，對(duì)y=

1

2

x2+x-

3

2

，
y隨著x的增大而增大，對(duì)y₂=

k

x

（k＞0），y₂隨著x的增大而減�。�
因?yàn)锳（x₀，y₀）為二次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)，
所以當(dāng)x₀=2時(shí)，由反比例函數(shù)圖象在二次函數(shù)的圖象上方，
得y₂＞y．
即

k

2

＞

1

2

×22+2-

3

2

，
解得k＞5．…（6分）
同理，當(dāng)x₀=3時(shí)，由二次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象上方的，
得y＞y₂，
即

1

2

×32+3-

3

2

＞

k

3

，
解得k＜18．
所以k的取值范圍為5＜k＜18．…（7分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，解題的關(guān)鍵是結(jié)合函數(shù)的圖象得到不等式，并據(jù)此求得k的取值范圍．