Question

【題目】如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點E、F分別是邊AC、BC上的動點,且EF//AB，點C關于EF的對稱點D恰好落在△ABC的內角平分線上，則CD長為__________．

Answer 1

【答案】3或

【解析】

點C關于EF的對稱點D恰好落在△ABC的內角平分線上，有兩種情況：∠ABC或∠ACB的角平分線；正確畫出圖形，得出點D即角平分線與AB邊高CH的交點，再由角平分線性質可得DH=DG=CH-CD，點C關于EF的對稱點D恰好落在∠ABC的角平分線上，利用列方程即可求出CD．

解：i、當點C關于EF的對稱點D恰好落在∠ABC的角平分線上時，

過C點作CH⊥EF，交AB于點H，交∠ABC平分線與點D，

∵點C關于EF的對稱點D恰好落在∠ABC的內角平分線上，故點D即點C關于EF的對稱點，

∵∠C=90°，AC=6，BC=8，

∴，

∴，

∵CH⊥EF，EF//AB,

∴CH⊥AB，

∴， ∠BCH=∠A，

過D點作DG⊥BC，垂足為G，

∵DB平分∠ABC，DH⊥AB，DG⊥BC，

∴DH=DG=CH-CD，

∵，，

∴，解得： ；

ii、當點C關于EF的對稱點D恰好落在∠BAC的角平分線上時，如圖，

同理可得：，

綜上所述：點C關于EF的對稱點D恰好落在△ABC的內角平分線上，則CD長為3或．

故答案為：3或．