【題目】如圖,已知拋物線y=﹣x2+bx+c與一直線相交于A(1,0)、C(﹣2,3)兩點,與y軸交于點N,其頂點為D.
(1)求拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點,求△APC的面積的最大值及此時點P的坐標;
(3)在對稱軸上是否存在一點M,使△ANM的周長最。舸嬖冢埱蟪M點的坐標和△ANM周長的最小值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;y=﹣x+1;(2)當x=﹣時,△APC的面積取最大值,最大值為,此時點P的坐標為(﹣,);(3)在對稱軸上存在一點M(﹣1,2),使△ANM的周長最小,△ANM周長的最小值為3.
【解析】
(1)根據(jù)點A,C的坐標,利用待定系數(shù)法即可求出拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式;(2)過點P作PE∥y軸交x軸于點E,交直線AC于點F,過點C作CQ∥y軸交x軸于點Q,設(shè)點P的坐標為(x,﹣x2﹣2x+3)(﹣2<x<1),則點E的坐標為(x,0),點F的坐標為(x,﹣x+1),進而可得出PF的值,由點C的坐標可得出點Q的坐標,進而可得出AQ的值,利用三角形的面積公式可得出S△APC=﹣x2﹣x+3,再利用二次函數(shù)的性質(zhì),即可解決最值問題;(3)利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出點N的坐標,利用配方法可找出拋物線的對稱軸,由點C,N的坐標可得出點C,N關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,令直線AC與拋物線的對稱軸的交點為點M,則此時△ANM周長取最小值,再利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征求出點M的坐標,以及利用兩點間的距離公式結(jié)合三角形的周長公式求出△ANM周長的最小值即可得出結(jié)論.
(1)將A(1,0),C(﹣2,3)代入y=﹣x2+bx+c,得:
,解得:,
∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x2﹣2x+3;
設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=mx+n(m≠0),
將A(1,0),C(﹣2,3)代入y=mx+n,得:
,解得:,
∴直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x+1.
(2)過點P作PE∥y軸交x軸于點E,交直線AC于點F,過點C作CQ∥y軸交x軸于點Q,如圖1所示.
設(shè)點P的坐標為(x,﹣x2﹣2x+3)(﹣2<x<1),則點E的坐標為(x,0),點F的坐標為(x,﹣x+1),
∴PE=﹣x2﹣2x+3,EF=﹣x+1,EF=PE﹣EF=﹣x2﹣2x+3﹣(﹣x+1)=﹣x2﹣x+2.
∵點C的坐標為(﹣2,3),
∴點Q的坐標為(﹣2,0),
∴AQ=1﹣(﹣2)=3,
∴S△APC=AQPF=﹣x2﹣x+3=﹣(x+)2+ .
∵﹣<0,
∴當x=﹣時,△APC的面積取最大值,最大值為,此時點P的坐標為(﹣, ).
(3)當x=0時,y=﹣x2﹣2x+3=3,
∴點N的坐標為(0,3).
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,
∴拋物線的對稱軸為直線x=﹣1.
∵點C的坐標為(﹣2,3),
∴點C,N關(guān)于拋物線的對稱軸對稱.
令直線AC與拋物線的對稱軸的交點為點M,如圖2所示.
∵點C,N關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,
∴MN=CM,
∴AM+MN=AM+MC=AC,
∴此時△ANM周長取最小值.
當x=﹣1時,y=﹣x+1=2,
∴此時點M的坐標為(﹣1,2).
∵點A的坐標為(1,0),點C的坐標為(﹣2,3),點N的坐標為(0,3),
∴AC= =3,AN= =,
∴C△ANM=AM+MN+AN=AC+AN=3
∴在對稱軸上存在一點M(﹣1,2),使△ANM的周長最小,△ANM周長的最小值為3+.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】探究:如圖,分別以△ABC的兩邊AB和AC為邊向外作正方形ABMN和正方形ACDE,CN、BE交于點P. 求證:∠ANC = ∠ABE.
應(yīng)用:Q是線段BC的中點,連結(jié)PQ. 若BC = 6,則PQ = ___________.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,反比例函數(shù)y= 的圖象與一次函數(shù)y=x+b的圖象交
于點A(1,4)、點B(-4,n).
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;
(2)求△OAB的面積;
(3)直接寫出一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值的自變量x的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我們學(xué)習過反比例函數(shù),例如,當矩形面積一定時,長a是寬b的反比例函數(shù),其函數(shù)關(guān)系式可以寫為(s為常數(shù),s≠0).
請你仿照上例另舉一個在日常生活、生產(chǎn)或?qū)W習中具有反比例函數(shù)關(guān)系的量的實例,并寫出它的函數(shù)關(guān)系式.
實例:三角形的面積S一定時,三角形底邊長y是高x的反比例函數(shù);
函數(shù)關(guān)系式: (s為常數(shù),s≠0).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知反比例函數(shù)y=(k≠0,k是常數(shù))的圖象過點P(-3,5).
(1)求此反比例函數(shù)的解析式;
(2)在函數(shù)圖象上有兩點(a1,b1)和(a2,b2),若a1<a2,試判斷b1與b2的大小關(guān)系.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)請畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1,并寫出點A1的坐標.
(2)請畫出△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2BC2.
(3)求出(2)中C點旋轉(zhuǎn)到C2點所經(jīng)過的路徑長(結(jié)果保留根號和π).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左邊),與y軸交于點C,點D為拋物線的頂點.
(1)求A、B、C的坐標;
(2)點M為線段AB上一點(點M不與點A、B重合),過點M作x軸的垂線,與直線AC交于點E,與拋物線交于點P,過點P作PQ∥AB交拋物線于點Q,過點Q作QN⊥x軸于點N.若點P在點Q左邊,當矩形PQMN的周長最大時,求△AEM的面積;
(3)在(2)的條件下,當矩形PMNQ的周長最大時,連接DQ.過拋物線上一點F作y軸的平行線,與直線AC交于點G(點G在點F的上方).若FG=DQ,求點F的坐標.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖:已知AB是⊙O的直徑,BC是⊙O的切線,OC與⊙O相交于點D,連結(jié)AD并延長,與BC相交于點E。
(1)若BC=,CD=1,求⊙O的半徑;
(2)取BE的中點F,連結(jié)DF,求證:DF是⊙O的切線。
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在△OAB中,OA=OB,⊙O經(jīng)過AB的中點C,與OB交于點D,且與BO的延長線交于點E,連接EC,CD.
(1)試判斷AB與⊙O的位置關(guān)系,并加以證明;
(2)若tanE=,⊙O的半徑為3,求OA的長.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com