Question

20．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點D，下列結(jié)論正確的有（　�。�
①AD=BD=BC；②△BCD≌△ABC；③AD²=AC•DC；④點D是AC的黃金分割點．

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點D，可推出△BCD，△ABD為等腰三角形，可得AD=BD=BC，①正確；由三角形的面積公式得出②正確；利用三角形相似的判定與性質(zhì)得出③④正確，即可得出結(jié)果．

解答 解：①由AB=AC，∠A=36°，得∠ABC=∠C=72°，
又BD平分∠ABC交AC于點D，
∴∠ABD=∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=36°=∠A，
∴AD=BD，
∠BDC=∠ABD+∠A=72°=∠C，
∴BC=BD，
∴BC=BD=AD，
∴①正確；
②∵△BCD是△ABC的一部分，
∴②錯誤；
③由①知：∠CBD=∠A，
∵∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB，
∴BC：AC=CD：BC，
∴BC²=CD•AC，
∵AD=BD=BC，AD²=CD•AC，
∴③正確；
④設(shè)AD=x，AC=AB=1，CD=AC-AD=1-x，
由AD²=CD•AC，得x²=（1-x），
解得x=±$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$-1（舍去負值），
∴AD=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，
∴④正確．
正確的有3個．
故選C．

點評 本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形判定與性質(zhì)．明確圖形中的三個等腰三角形的特點與關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．