Question

【題目】如圖，已知⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，點(diǎn)D在圓上，在CD的延長(zhǎng)線(xiàn)上有一點(diǎn)F，使DF=DA，AE∥BC交CF于E．

（1）求證：EA是⊙O的切線(xiàn)；

（2）求證：BD=CF．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得：∠OAC=30°，∠BCA=60°，證明∠OAE=90°，可得：AE是⊙O的切線(xiàn)；

（2）先根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得：AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，由四點(diǎn)共圓的性質(zhì)得：∠ADF=∠ABC=60°，得△ADF是等邊三角形，證明△BAD≌△CAF，可得結(jié)論．

（1）連接OA．

∵⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，∴∠OAC=30°，∠BCA=60°．

∵AE∥BC，∴∠EAC=∠BCA=60°，∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°，∴AE是⊙O的切線(xiàn)；

（2）∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°．

∵A、B、C、D四點(diǎn)共圓，∴∠ADF=∠ABC=60°．

∵AD=DF，∴△ADF是等邊三角形，∴AD=AF，∠DAF=60°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠BAD=∠CAF．

在△BAD和△CAF中，∵，∴△BAD≌△CAF，∴BD=CF．