Question

【題目】已知線段AB＝m（m為常數(shù)），點(diǎn)C為直線AB上一點(diǎn)，點(diǎn)P、Q分別在線段BC、AC上，且滿足CQ＝2AQ，CP＝2BP．

（1）如圖，若AB＝6，當(dāng)點(diǎn)C恰好在線段AB中點(diǎn)時(shí)，則PQ＝　 　；

（2）若點(diǎn)C為直線AB上任一點(diǎn)，則PQ長(zhǎng)度是否為常數(shù)？若是，請(qǐng)求出這個(gè)常數(shù)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若點(diǎn)C在點(diǎn)A左側(cè)，同時(shí)點(diǎn)P在線段AB上（不與端點(diǎn)重合），請(qǐng)判斷2AP+CQ﹣2PQ與1的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）PQ是一個(gè)常數(shù)，即是常數(shù)m；（3）2AP+CQ﹣2PQ＜1，見(jiàn)解析．

【解析】

（1）根據(jù)已知AB＝6，CQ＝2AQ，CP＝2BP，以及線段的中點(diǎn)的定義解答；

（2）由題意根據(jù)已知條件AB＝m（m為常數(shù)），CQ＝2AQ，CP＝2BP進(jìn)行分析即可；

（3）根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，求得2AP+CQ﹣2PQ＝0，即可得出2AP+CQ﹣2PQ與1的大小關(guān)系．

解：（1）∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，

∴CQ＝AC，CP＝BC，

∵點(diǎn)C恰好在線段AB中點(diǎn)，

∴AC＝BC＝AB，

∵AB＝6，

∴PQ＝CQ+CP＝AC+BC＝×AB+×AB＝×AB＝×6＝4；

故答案為：4；

（2）①點(diǎn)C在線段AB上：

∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，

∴CQ＝AC，CP＝BC，

∵AB＝m（m為常數(shù)），

∴PQ＝CQ+CP=AC+BC＝×（AC+BC）＝AB=m；

②點(diǎn)C在線段BA的延長(zhǎng)線上：

∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，

∴CQ＝AC，CP＝BC，

∵AB＝m（m為常數(shù)），

∴PQ＝CP﹣CQ＝BC﹣AC＝×（BC﹣AC）＝AB＝m；

③點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上：

∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，

∴CQ＝AC，CP＝BC，

∵AB＝m（m為常數(shù)），

∴PQ＝CQ﹣CP＝AC﹣BC＝×（AC﹣BC）＝AB＝m；

故PQ是一個(gè)常數(shù)，即是常數(shù)m；

（3）如圖：

∵CQ＝2AQ，

∴2AP+CQ﹣2PQ

＝2AP+CQ﹣2（AP+AQ）

＝2AP+CQ﹣2AP﹣2AQ

＝CQ﹣2AQ

＝2AQ﹣2AQ

＝0，

∴2AP+CQ﹣2PQ＜1．