Question

7．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，⊙B與AB、BC交于E、F，點(diǎn)P是弧EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PC，線段PC繞P點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到PD，連接CD，AD．
（1）求證：△BPC∽△ADC；
（2）當(dāng)四邊形ABCD滿足AD∥CB且是面積為12時(shí)，求⊙B的半徑；
（3）若⊙B的半徑的為2，當(dāng)點(diǎn)P沿弧EF從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)PC與⊙B相切時(shí)，求點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路徑的長．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可知：BC：AC=PC：DC，∠PCD=∠ACB，從而可證明∠BCP=∠ACD，最后依據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似進(jìn)行證明即可；
（2）如圖1所示：先求得△ABC的面積，然后可得到△ADC的面積，依據(jù)三角形的面積公式可得到AD的長，然后依據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊長比例可求得PB的長；
（3）如圖2所示：由相似三角形的性質(zhì)可知：AD=2$\sqrt{2}$，于是可得到點(diǎn)D在以A為圓心，以2$\sqrt{2}$為半徑的圓上，然后根據(jù)點(diǎn)P在圓B的運(yùn)動(dòng)路線和確定點(diǎn)D經(jīng)過的路徑（�。┧鶎�(duì)的圓心角，最后依據(jù)弧長公式求解即可．

解答 解：（1）∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠ACB=45°，BC：AC=1：$\sqrt{2}$．
∵PD=PC，∠DPC=90°，
∴∠PCD=45°，PC：DC=1：$\sqrt{2}$．
∴BC：AC=PC：DC，∠PCD=∠ACB．
∴∠PCD-∠PCA=∠ACB-∠PCA，即∠BCP=∠ACD．
∴△BPC∽△ADC．
（2）如圖1所示：

∵AB=BC=4，∠ABC=90°，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC=$\frac{1}{2}$×4×4=8，
∵四邊形ABCD的面積為12，
∴S_△ADC=4．
∵AD∥BC，
∴S_△ADC=$\frac{1}{2}$AD•AB=4，即$\frac{1}{2}$×4×AD=4．
∴AD=2．
∵△BPC∽△ADC，
∴$\frac{AD}{BP}=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{2}}{1}$，即$\frac{2}{BP}=\frac{\sqrt{2}}{1}$．
解得BP=$\sqrt{2}$．
∴⊙B的半徑為$\sqrt{2}$．
（3）如圖2所示：

∵BP=2，由（2）可知AD：BP=$\sqrt{2}$：1，
∴AD=2$\sqrt{2}$．
∴D在以A為圓心，以2$\sqrt{2}$為半徑的圓上．
∵△BPC∽△ADC，
∴∠PBC=∠DAC．
∵當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，∠PBC=90°．
∴∠DAC=90°．
當(dāng)點(diǎn)P′C與圓B相切時(shí)，∠BP′C=90°，BP′=2，BC=4，
∴∠P′BC=60°．
∴∠D′AC=60°．
∴∠D′AD=90°-60°=30°．
∴點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路線長=$\frac{30×2\sqrt{2}π}{180}$=$\frac{\sqrt{2}π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是圓的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、扇形的弧長公式的應(yīng)用，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)確定出點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑的形狀是解題的關(guān)鍵．