【題目】已知在⊙O中,直徑AB⊥弦CD于G,E為DC延長線上一點
(1)如圖1,BE交⊙O于點F,求證:∠EFC=∠BFD;
(2)如圖2,當CD也是直徑,EF切⊙O于F,連接DF.若tan∠D=,求sin∠E的值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)連接AD,BD,由圓的性質可得∠CFE=∠EDB,再證明∠ADB=∠AGD=90°,可得∠DAB=∠GDB,則∠EFC=∠BFD得證;
(2)證明△CEF∽△FED,可得EF2=CEDE,設CF=a,則DF=3a,由勾股定理可得CD=,設CE=x,則EF=3x,可求出CE=和EF=,可用a表示OF的長,則sin∠E的值可求出.
(1)證明:如圖1,連接AD,BD,
∵四邊形CDBF為圓內接四邊形,
∴∠CFE=∠EDB,
∵AB為⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°,
∴∠DAB+∠ABD=90°,
∵AB⊥CD,
∴∠AGD=90°,
∴∠GDB+∠ABD=90°,
∴∠DAB=∠GDB,
∴∠DAB=∠CFE,
∵∠DAB=∠BFD,
∴∠EFC=∠BFD;
(2)解:如圖2,連接OF,CF,
∵EF是⊙O的切線,
∴OF⊥EF,
∴∠EFO=90°,
∵CD是⊙O的直徑,
∴∠CFD=90°,
∴∠EFC=∠OFD,
∵OF=OD,
∴∠ODF=∠OFD,
∴∠ODF=∠EFC,
∵∠CEF=∠FED,
∴△CEF∽△FED,
∴,
∴EF2=CEDE,
∵tan∠D==,
設CF=a,則DF=3a,由勾股定理可得CD=,
設CE=x,則EF=3x,
∴,
解得:x=,
∴,
∴OE=CE+OC=,
∴==,
∴sin∠E=.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】張老師為了了解班級學生完成數(shù)學課前預習的具體情況,對本班部分學生進行了為期半個月的跟蹤調查.他將調查結果分為四類:A:很好;B:較好;C:一般;D:較差,并將調查結果繪制成以下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請你根據(jù)統(tǒng)計圖解答下列問題:
(1)請計算出A類男生和C類女生的人數(shù),并將條形統(tǒng)計圖補充完整.
(2)為了共同進步,張老師想從被調查的A類和D類學生中各隨機機抽取一位同學進行“一幫一”互助學習,請用畫樹狀圖或列表的方法求出所選兩位同學恰好是一男一女同學的概率.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】隨著生活水平的提高,人們對飲水品質的需求越來越高,某公司根據(jù)市場需求代理A,B兩種型號的凈水器,每臺A型凈水器比每臺B型凈水器進價多200元,用5萬元購進A型凈水器與用4.5萬元購進B型凈水器的數(shù)量相等
(1)求每臺A型、B型凈水器的進價各是多少元?
(2)該公司計劃購進A,B兩種型號的凈水器共50臺進行試銷,其中A型凈水器為x臺,購買資金不超過9.8萬元,試銷時A型凈水器每臺售價2500元,B型凈水器每臺售價2180元,公司決定從銷售A型凈水器的利潤中按每臺捐獻a元作為公司幫扶貧困村飲水改造資金.若公司售完50臺凈水器并捐獻扶貧資金后獲得的最大利潤不低于20200元但不超過23000元,求a的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,直線AB經(jīng)過⊙O上的點C,并且OA=OB,CA=CB,⊙O交直線OB于E,D,連接EC,CD.
(1)求證:直線AB是⊙O的切線;
(2)若tan∠CED=,⊙O的半徑為3,求OA的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】綜合與探究:
如圖,將拋物線向右平移個單位長度,再向下平移個單位長度后,得到的拋物線,平移后的拋物線與軸分別交于,兩點,與軸交于點.拋物線的對稱軸與拋物線交于點.
(1)請你直接寫出拋物線的解析式;(寫出頂點式即可)
(2)求出,,三點的坐標;
(3)在軸上存在一點,使的值最小,求點的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】教練想從甲、乙兩名運動員中選拔一人參加射擊錦標賽,故先在射擊隊舉行了一場選拔比賽.在相同的條件下各射靶次,每次射靶的成績情況如圖所示.
甲射靶成績的條形統(tǒng)計圖 | 乙射靶成績的折線統(tǒng)計圖 |
()請你根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)填寫下表:
平均數(shù) | 眾數(shù) | 方差 | |
甲 | __________ | ||
乙 | __________ | __________ |
()根據(jù)選拔賽結果,教練選擇了甲運動員參加射擊錦標賽,請給出解釋.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4,點E,F分別在邊BC,AC上,沿EF所在的直線折疊∠C,使點C的對應點D恰好落在邊AB上,若△EFC和△ABC相似,則BD的長為__________.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,方格紙的每個小方格都是邊長為1個單位的正方形,在建立平面直角坐標系后,△ABC的頂點均在格點上.
(1)畫出△ABC關于原點對稱的△A1B1C1;
(2)畫出△ABC向上平移5個單位后的△A2B2C2,并求出平移過程中△ABC掃過的面積.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)與x軸,y軸的交點分別是A(﹣4,0),B(0,2).與反比例函數(shù)的圖象交于點Q,反比例函數(shù)圖象上有一點P滿足:①PA⊥x軸;②PO=(O為坐標原點),則四邊形PAQO的面積為( 。
A.7B.10C.4+2D.4﹣2
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