【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線y=ax2+ax+a(a≠0)交x軸于點(diǎn)A和點(diǎn)B(點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊),交y軸于點(diǎn)C,連接AC,tan∠CAO=3.
(1)如圖1,求拋物線的解析式;
(2)如圖2,D是第一象限的拋物線上一點(diǎn),連接DB,將線段DB繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段DE(點(diǎn)B與點(diǎn)E為對(duì)應(yīng)點(diǎn)),點(diǎn)E恰好落在y軸上,求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)如圖3,在(2)的條件下,過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線,垂足為H,點(diǎn)F在第二象限的拋物線上,連接DF交y軸于點(diǎn)G,連接GH,sin∠DGH=,以DF為邊作正方形DFMN,P為FM上一點(diǎn),連接PN,將△MPN沿PN翻折得到△TPN(點(diǎn)M與點(diǎn)T為對(duì)應(yīng)點(diǎn)),連接DT并延長(zhǎng)與NP的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)K,連接FK,若FK=,求cos∠KDN的值.
【答案】(1)y=﹣x2+x+3;(2)D的坐標(biāo)為(3,3);(3)
【解析】
(1)通過(guò)拋物線y=先求出點(diǎn)A的坐標(biāo),推出OA的長(zhǎng)度,再由tan∠CAO=3求出OC的長(zhǎng)度,點(diǎn)C的坐標(biāo),代入原解析式即可求出結(jié)論;
(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)D分別作x軸和y軸的垂線,垂足分別為W和Z,證△DZE≌△DWB,得到DZ=DW,由此可知點(diǎn)D的橫縱坐標(biāo)相等,設(shè)出點(diǎn)D坐標(biāo),代入拋物線解析式即可求出點(diǎn)D坐標(biāo);
(3)如圖3,連接CD,分別過(guò)點(diǎn)C,H作F的垂線,垂足分別為Q,I,過(guò)點(diǎn)F作DC的垂線,交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)U,先求出點(diǎn)G坐標(biāo),求出直線DG解析式,再求出點(diǎn)F的坐標(biāo),即可求出正方形FMND的邊長(zhǎng),再求出其對(duì)角線FN的長(zhǎng)度,最后證點(diǎn)F,K,M,N,D共圓,推出∠KDN=∠KFN,求出∠KFN的余弦值即可.
解:(1)在拋物線y=中,
當(dāng)y=0時(shí),x1=﹣1,x2=4,
∴A(﹣1,0),B(4,0),
∴OA=1,
∵tan∠CAO=3,
∴OC=3OA=3,
∴C(0,3),
∴a=3,
∴a=2,
∴拋物線的解析式為:y=﹣x2+x+3;
(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)D分別作x軸和y軸的垂線,垂足分別為W和Z,
∵∠ZDW=∠EDB=90°,
∴∠ZDE=∠WDB,
∵∠DZE=∠DWB=90°,DE=DB,
∴△DZE≌△DWB(AAS),
∴DZ=DW,
設(shè)點(diǎn)D(k,﹣k2+k+3),
∴k=﹣k2+k+3,
解得,k1=﹣(舍去),k2=3,
∴D的坐標(biāo)為(3,3);
(3)如圖3,連接CD,分別過(guò)點(diǎn)C,H作F的垂線,垂足分別為Q,I,
∵sin∠DGH=
∴設(shè)HI=4m,HG=5m,則IG=3m,
由題意知,四邊形OCDH是正方形,
∴CD=DH=3,
∵∠CDQ+∠IDH=90°,∠IDH+∠DHI=90°,
∴∠CDQ=∠DHI,
又∵∠CQD=∠DIH=90°,
∴△CQD≌△DIH(AAS),
設(shè)DI=n,
則CQ=DI=n,DQ=HI=4m,
∴IQ=DQ﹣DI=4m﹣n,
∴GQ=GI﹣IQ=3m﹣(4m﹣n)=n﹣m,
∵∠GCQ+∠QCD=90°,∠QCD+∠CDQ=90°,
∴∠GCQ=∠CDQ,
∴△GCQ∽△CDQ,
∴
∴
∴n=2m,
∴CQ=DI=2m,
∴IQ=2m,
∴tan∠CDG=,
∵CD=3,
∴CG=,
∴GO=CO﹣CG=,
設(shè)直線DG的解析式為y=kx+,
將點(diǎn)D(3,3)代入,
得,k=,
∴yDG=,
設(shè)點(diǎn)F(t,﹣t2+t+3),
則﹣t2+t+3=t+,解得,t1=3(舍去),t2=﹣,
∴F(﹣,)
過(guò)點(diǎn)F作DC的垂線,交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)U,
則,
∴在Rt△UFD中,
DF=,
由翻折知,△NPM≌△NPT,
∴∠MNP=∠TNP,NM=NT=ND,∠TPN=∠MPN,TP=MP,
又∵NS⊥KD,
∴∠DNS=∠TNS,DS=TS,
∴∠SNK=∠TNP+∠TNS=×90°=45°,
∴∠SKN=45°,
∵∠TPK=180°﹣∠TPN,∠MPK=180°﹣∠MPN,
∴∠TPK=∠MPK,
又∵PK=PK,
∴△TPK≌△MPK(SAS),
∴∠MKP=∠TKP=45°,
∴∠DKM=∠MKP+∠TKP=90°,
連接FN,DM,交點(diǎn)為R,再連接RK,
則RK=RF=RD=RN=RM,
則點(diǎn)F,D,N,M,K同在⊙R上,FN為直徑,
∴∠FKN=90°,∠KDN=∠KFN,
∵FN=,
∴在Rt△FKN中,
∴cos∠KDN=cos∠KFN.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OA1B1C1,A1A2B2C2,A2A3B3C3,…都是菱形,點(diǎn)A1,A2,A3,…都在x軸上,點(diǎn)C1,C2,C3,…都在直線y=x+上,且∠C1OA1=∠C2A1A2=∠C3A2A3=…=60°,OA1=1,則點(diǎn)C6的坐標(biāo)是__.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的一部分,對(duì)稱軸是直線x=﹣2.關(guān)于下列結(jié)論:①ab<0;②b2﹣4ac>0;③9a﹣3b+c>0;④b﹣4a=0;⑤方程ax2+bx=0的兩個(gè)根為x1=0,x2=﹣4,其中正確的結(jié)論有( )
A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)校有一棟教學(xué)樓AB,小明(身高忽略不計(jì))在教學(xué)樓一側(cè)的斜坡底端C處測(cè)得教學(xué)樓頂端A的仰角為68°,他沿著斜坡向上行走到達(dá)斜坡頂端E處,又測(cè)得教學(xué)樓頂端A的仰角為45°.已知斜坡的坡角(∠ECD)為30°,坡面長(zhǎng)度CE=6m,求樓房AB的高度.(結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù):tan68°≈2.48,≈1.73)
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1的方格紙中,線段AB的端點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上.
(1)在圖中畫(huà)出以AB為底的等腰三角形ABC,點(diǎn)C在小正方形的頂點(diǎn)上,且△ABC的面積是7.5;
(2)在(1)的條件下,在圖中畫(huà)出以AC為斜邊的直角三角形ACE(AE<EC),點(diǎn)E在小正方形的頂點(diǎn)上,且△ACE的面積是5,連接EB,并直接寫(xiě)出tan∠AEB的值.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
(1)求m的取值范圍;
(2)是否存在實(shí)數(shù)m,使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于0?若存在,求出m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=x2+bx+c過(guò)點(diǎn)A(3, 0)、點(diǎn)B(0, 3).點(diǎn)M(m, 0)在線段OA上(與點(diǎn)A、O不重合),過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線與線段AB交于點(diǎn)P,與拋物線交于點(diǎn)Q,聯(lián)結(jié)BQ.
(1)求拋物線表達(dá)式;
(2)聯(lián)結(jié)OP,當(dāng)∠BOP=∠PBQ時(shí),求PQ的長(zhǎng)度;
(3)當(dāng)△PBQ為等腰三角形時(shí),求m的值.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線與直線相交于點(diǎn)A,與軸相交于點(diǎn)B,與軸相交于點(diǎn)C,拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)O、點(diǎn)A和點(diǎn)B,已知點(diǎn)A到軸的距離等于2.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)H為直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)H到的距離最大時(shí),求點(diǎn)H的坐標(biāo);
(3)如圖,P為射線OA的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),沿著OA方向以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng),以OP為邊在OA的上方作正方形OPMN,設(shè)正方形POMN與△OAC重疊的面積為S,設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒,直接寫(xiě)出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某農(nóng)科所在相同條件下做某作物種子發(fā)芽率的實(shí)驗(yàn),結(jié)果如下表所示:
種子個(gè)數(shù) | 200 | 300 | 500 | 700 | 800 | 900 | 1000 |
發(fā)芽種子個(gè)數(shù) | 187 | 282 | 435 | 624 | 718 | 814 | 901 |
發(fā)芽種子率 | 0.935 | 0.940 | 0.870 | 0.891 | 0.898 | 0.904 | 0.901 |
下面有四個(gè)推斷:
①種子個(gè)數(shù)是700時(shí),發(fā)芽種子的個(gè)數(shù)是624,所以種子發(fā)芽的概率是0.891;
②隨著參加實(shí)驗(yàn)的種子數(shù)量的增加,發(fā)芽種子的頻率在0.9附近擺動(dòng),顯示出一定的穩(wěn)定性,可以估計(jì)種子發(fā)芽的概率約為0.9(精確到0.1);
③實(shí)驗(yàn)的種子個(gè)數(shù)最多的那次實(shí)驗(yàn)得到的發(fā)芽種子的頻率一定是種子發(fā)芽的概率;
④若用頻率估計(jì)種子發(fā)芽的概率約為0.9,則可以估計(jì)種子中大約有的種子不能發(fā)芽.
其中合理的是______.
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無(wú)主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com