Question

16．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O與△ABC的三邊分別切于點D，E，F(xiàn)．
（1）連接AO、BO，求∠AOB的度數(shù)；
（2）連接BD，若tan∠DBC=$\frac{1}{4}$，求tan∠ABD的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接DO、EO、FO，利用切線的定義和性質(zhì)可得∠DOE=90°，AF=AD，BF=BE，易得△ADO≌△AFO，由全等三角形的性質(zhì)可得∠AOF=∠AOD，∠BOF=∠BOE，易得$∠AOB=\frac{1}{2}（360°-∠DOE）$；
（2）過點D作DM⊥AB于點M，如圖2，由tan∠DBC=$\frac{1}{4}$，可知$\frac{CD}{CB}=\frac{1}{4}$，設(shè)DC=1，則BC=4，可得CE=CD=1，BF=BE=3，設(shè)AD=AF=x，易得AC、AB，由勾股定理可得x，由△ADM∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)可得$\frac{AD}{AB}=\frac{AM}{AC}=\frac{DM}{BC}$，易得AM，DM，BM，由tan∠ADB=$\frac{DM}{BM}$可得結(jié)果．

解答 解：（1）如圖1，連接DO、EO、FO，
∵AC、BC、AB均為⊙O的切線，
∴AF=AD，BF=BE，CE=CD，∠∠ODC=90°，∠OEC=90°，
∵∠C=90°，
∴∠DOE=90°，
在△ADO與△AFO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AD}\\{∠AFO=∠ADO=90°}\\{FO=DO}\end{array}\right.$，
∴△ADO≌△AFO，
∴∠AOF=∠AOD，
同理可得，∠BOF=∠BOE，
∴$∠AOB=∠AOD+∠BOE=\frac{1}{2}×$（360°-90°）=135°；

（2）過點D作DM⊥AB于點M，如圖2，
∵tan$∠DBC=\frac{CD}{CB}=\frac{1}{4}$，
∴設(shè)DC=1，則BC=4，
∴CE=CD=1，BF=BE=3，
設(shè)AD=AF=x，則AC=1+x，AB=3+x，
在Rt△ABC中，（x+1）²+4²=（x+3）²，
解得：x=2，
∵△ADM∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AM}{AC}=\frac{DM}{BC}$，
∴$\frac{2}{5}=\frac{AM}{3}=\frac{DM}{4}$，
∴AM=$\frac{6}{5}$，DM=$\frac{8}{5}$，∴$BM=5-\frac{6}{5}$=$\frac{19}{5}$，
∴tan∠ABD=$\frac{DM}{BM}=\frac{\frac{8}{5}}{\frac{19}{5}}$=$\frac{8}{19}$．

點評 此題主要考查了切線的性質(zhì)，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)建直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．