【題目】在Rt△ABC中,∠BAC=90°,過點(diǎn)B的直線MN∥AC,D為BC邊上一點(diǎn),連接AD,作DE⊥AD交MN于點(diǎn)E,連接AE.
(1)如圖①,當(dāng)∠ABC=45°時(shí),求證:AD=DE;理由;
(2)如圖②,當(dāng)∠ABC=30°時(shí),線段AD與DE有何數(shù)量關(guān)系?并請(qǐng)說明理由;
(3)當(dāng)∠ABC=α時(shí),請(qǐng)直接寫出線段AD與DE的數(shù)量關(guān)系.(用含α的三角函數(shù)表示)
【答案】(1)證明見解析;(2)DE=AD, 理由見解析;(3)AD=DEtanα,理由見解析.
【解析】
試題(1)過點(diǎn)D作DF⊥BC,交AB于點(diǎn)F,得出∠BDE=∠ADF,∠EBD=∠AFD,即可得到△BDE≌△FDA,從而得到AD=DE;
(2)過點(diǎn)D作DG⊥BC,交AB于點(diǎn)G,進(jìn)而得出∠EBD=∠AGD,證出△BDE∽△GDA即可得出答案;
(3)過點(diǎn)D作DG⊥BC,交AB于點(diǎn)G,進(jìn)而得出∠EBD=∠AGD,證出△BDE∽△GDA即可得出答案.
試題解析:(1)如圖1,過點(diǎn)D作DF⊥BC,交AB于點(diǎn)F,則∠BDE+∠FDE=90°,∵DE⊥AD,∴∠FDE+∠ADF=90°,∴∠BDE=∠ADF,∵∠BAC=90°,∠ABC=45°,∴∠C=45°,∵M(jìn)N∥AC,∴∠EBD=180°﹣∠C=135°,∵∠BFD=45°,DF⊥BC,∴∠BFD=45°,BD=DF,∴∠AFD=135°,∴∠EBD=∠AFD,在△BDE和△FDA中,∵∠EBD=∠AFD,BD=DF,∠BDF=∠ADF,∴△BDE≌△FDA(ASA),∴AD=DE;
(2)DE=AD,理由:
如圖2,過點(diǎn)D作DG⊥BC,交AB于點(diǎn)G,則∠BDE+∠GDE=90°,∵DE⊥AD,∴∠GDE+∠ADG=90°,∴∠BDE=∠ADG,∵∠BAC=90°,∠ABC=30°,∴∠C=60°,∵M(jìn)N∥AC,∴∠EBD=180°﹣∠C=120°,∵∠ABC=30°,DG⊥BC,∴∠BGD=60°,∴∠AGD=120°,∴∠EBD=∠AGD,∴△BDE∽△GDA,∴,在Rt△BDG中,=tan30°=,∴DE=AD;
(3)AD=DEtanα;理由:
如圖2,∠BDE+∠GDE=90°,∵DE⊥AD,∴∠GDE+∠ADG=90°,∴∠BDE=∠ADG,∵∠EBD=90°+α,∠AGD=90°+α,∴∠EBD=∠AGD,∴△EBD∽△AGD,∴,在Rt△BDG中,=tanα,則=tanα,∴AD=DEtanα.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形紙片ABCD中,AB=6,BC=10,點(diǎn)E在CD上,將△BCE沿BE折疊,點(diǎn)C恰落在邊AD上的點(diǎn)F處;點(diǎn)G在AF上,將△ABG沿BG折疊,點(diǎn)A恰落在線段BF上的點(diǎn)H處,有下列結(jié)論:
①∠EBG=45°;②△DEF∽△ABG;③S△ABG=S△FGH;④AG+DF=FG.
其中正確的是__.(把所有正確結(jié)論的序號(hào)都選上)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,AB為半圓O的直徑,半徑的長(zhǎng)為4cm,點(diǎn)C為半圓上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)C作CE⊥AB,垂足為點(diǎn)E,點(diǎn)D為弧AC的中點(diǎn),連接DE,如果DE=2OE,求線段AE的長(zhǎng).
小何根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),將此問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決.
小華假設(shè)AE的長(zhǎng)度為xcm,線段DE的長(zhǎng)度為ycm.
(當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí),AE的長(zhǎng)度為0cm),對(duì)函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行探究.
下面是小何的探究過程,請(qǐng)補(bǔ)充完整:(說明:相關(guān)數(shù)據(jù)保留一位小數(shù)).
(1)通過取點(diǎn)、畫圖、測(cè)量,得到了x與y的幾組值,如下表:
x/cm | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
y/cm | 0 | 1.6 | 2.5 | 3.3 | 4.0 | 4.7 |
| 5.8 | 5.7 |
當(dāng)x=6cm時(shí),請(qǐng)你在圖中幫助小何完成作圖,并使用刻度尺度量此時(shí)線段DE的長(zhǎng)度,填寫在表格空白處:
(2)在圖2中建立平面直角坐標(biāo)系,描出補(bǔ)全后的表中各組對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn),畫出該函數(shù)的圖象;
(3)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象解決問題,當(dāng)DE=2OE時(shí),AE的長(zhǎng)度約為 cm.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本題滿分12分)在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中,小明進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng).將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD與邊長(zhǎng)為的正方形AEFG按圖1位置放置,AD與AE在同一條直線上,AB與AG在同一條直線上.
(1)小明發(fā)現(xiàn),請(qǐng)你幫他說明理由.
(2)如圖2,小明將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)B恰好落在線段DG上時(shí),請(qǐng)你幫他求出此時(shí)BE的長(zhǎng).
(3)如圖3,若小明將正方形ABCD繞點(diǎn)A繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),線段DG與線段BE將相交,交點(diǎn)為H,寫出△與△面積之和的最大值,并簡(jiǎn)要說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在數(shù)學(xué)課上,愛動(dòng)腦筋的小孫同學(xué)提出了一個(gè)問題:已知線段AB和直線L,他想作一個(gè)頂點(diǎn)P在直線上L的特殊的,使得
經(jīng)過課堂討論,有的學(xué)習(xí)小組提出了如下尺規(guī)作圖方案:
分別以點(diǎn)A,點(diǎn)B為圓心,以線段AB的長(zhǎng)度為半徑畫弧,兩條弧在線段AB上方相交于點(diǎn)O;
以O為圓心,OA為半徑作弧,與直線L相交于,兩點(diǎn);
連接,,,,
所以,就是所求的角
請(qǐng)你根據(jù)上述尺規(guī)作圖方案,完成下列問題:
使用直尺和圓規(guī)補(bǔ)全圖形;保留作圖痕跡
完成下面的證明:
證明:在中,連接OA,OB,
為等邊三角形______填推理的依據(jù)
,
______填推理的依據(jù)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了解本校九年級(jí)學(xué)生足球訓(xùn)練情況,隨機(jī)抽查該年級(jí)若干名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試,然后把測(cè)試結(jié)果分為4個(gè)等級(jí):A、B、C、D,并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
請(qǐng)根據(jù)圖中的信息解答下列問題
(1)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖
(2)該年級(jí)共有700人,估計(jì)該年級(jí)足球測(cè)試成績(jī)?yōu)镈等的人數(shù)為__________人;
(3)在此次測(cè)試中,有甲、乙、丙、丁四個(gè)班的學(xué)生表現(xiàn)突出,現(xiàn)決定從這四個(gè)班中隨機(jī)選取兩個(gè)班在全校舉行一場(chǎng)足球友誼賽.請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法,求恰好選到甲、乙兩個(gè)班的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2﹣1(a>0)與直線y=kx+3交于MN兩點(diǎn),在y軸負(fù)半軸上存在一定點(diǎn)P,使得不論k取何值,直線PM與PN總是關(guān)于y軸對(duì)稱,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是_____
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖7所示,點(diǎn)、、在軸上,且,分別過點(diǎn)、、作軸的平行線,與反比例函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)、、,分別過點(diǎn) 作軸的平行線,分別與軸交于點(diǎn) ,連接 ,那么圖中陰影部分的面積之和為___________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司開發(fā)出一款新的節(jié)能產(chǎn)品,該產(chǎn)品的成本價(jià)為6元件,該產(chǎn)品在正式投放市場(chǎng)前通過代銷點(diǎn)進(jìn)行了為期30天的試銷售,售價(jià)為8元/件,工作人員對(duì)銷售情況進(jìn)行了跟蹤記錄,并將記錄情況繪成如圖所示的圖象,圖中的折線ODE表示日銷售量y(件)與銷售時(shí)間x(天)之間的函數(shù)關(guān)系,已知線段DE表示的函數(shù)關(guān)系中,時(shí)間每增加1天,日銷售量減少5件.
(1)第24天的日銷售量是 件,日銷售利潤(rùn)是 元.
(2)求線段DE所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.(不要求寫出自變量的取值范圍)
(3)通過計(jì)算說明試銷售期間第幾天的日銷售量最大?最大日銷售量是多少?
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