Question

【題目】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，過點(diǎn)B的直線MN∥AC，D為BC邊上一點(diǎn)，連接AD，作DE⊥AD交MN于點(diǎn)E，連接AE．

（1）如圖①，當(dāng)∠ABC=45°時(shí)，求證：AD=DE；理由；

（2）如圖②，當(dāng)∠ABC=30°時(shí)，線段AD與DE有何數(shù)量關(guān)系？并請(qǐng)說明理由；

（3）當(dāng)∠ABC=α時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段AD與DE的數(shù)量關(guān)系．（用含α的三角函數(shù)表示）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）DE=AD， 理由見解析；（3）AD=DEtanα，理由見解析.

【解析】

試題（1）過點(diǎn)D作DF⊥BC，交AB于點(diǎn)F，得出∠BDE=∠ADF，∠EBD=∠AFD，即可得到△BDE≌△FDA，從而得到AD=DE；

（2）過點(diǎn)D作DG⊥BC，交AB于點(diǎn)G，進(jìn)而得出∠EBD=∠AGD，證出△BDE∽△GDA即可得出答案；

（3）過點(diǎn)D作DG⊥BC，交AB于點(diǎn)G，進(jìn)而得出∠EBD=∠AGD，證出△BDE∽△GDA即可得出答案．

試題解析：（1）如圖1，過點(diǎn)D作DF⊥BC，交AB于點(diǎn)F，則∠BDE+∠FDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠FDE+∠ADF=90°，∴∠BDE=∠ADF，∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠C=45°，∵M(jìn)N∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=135°，∵∠BFD=45°，DF⊥BC，∴∠BFD=45°，BD=DF，∴∠AFD=135°，∴∠EBD=∠AFD，在△BDE和△FDA中，∵∠EBD=∠AFD，BD=DF，∠BDF=∠ADF，∴△BDE≌△FDA（ASA），∴AD=DE；

（2）DE=AD，理由：

如圖2，過點(diǎn)D作DG⊥BC，交AB于點(diǎn)G，則∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，∴∠C=60°，∵M(jìn)N∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=120°，∵∠ABC=30°，DG⊥BC，∴∠BGD=60°，∴∠AGD=120°，∴∠EBD=∠AGD，∴△BDE∽△GDA，∴，在Rt△BDG中，=tan30°=，∴DE=AD；

（3）AD=DEtanα；理由：

如圖2，∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠EBD=90°+α，∠AGD=90°+α，∴∠EBD=∠AGD，∴△EBD∽△AGD，∴，在Rt△BDG中，=tanα，則=tanα，∴AD=DEtanα．