Question

如圖1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90?，AD=10，CD=4，BC=6，E是BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)△PBE與△DCE相似時(shí)，求t的值；
（3）如圖2，連接PD，以PD所在直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸作線(xiàn)段BC的軸對(duì)稱(chēng)圖形B′C′，若點(diǎn)C′落在線(xiàn)段AD上，則t的值為

10

（直接寫(xiě)出答案即可）．

Answer 1

分析：（1）作DF⊥AB于F，根據(jù)已知條件可以得出四邊形BCDF是矩形就可以得出BF=CD，再由勾股定理求出AF的值就可以得出結(jié)論；
（2）從△PBE∽△DCE和△PBE∽△ECD兩種情況進(jìn)行討論根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論求出t的值；
（3）如圖4，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)先求出AC′的值，再由三角函數(shù)值求出GC′，AG的值，再證明△AC′G∽△PB′G，由相似三角形的性質(zhì)就可以求出PG的值，從而求出AP的值就可以求出t的值．

解答：解：（1）如圖1，作DF⊥AB于F，
∴∠AFD=∠BFD=90°．
∵AB∥CD，∠B=90°，
∴∠C=90°，
∴四邊形BCDF是矩形，
∴BF=CD，DF=BC．
∵CD=4，BC=6，
∴BF=4，DF=6．
在Rt△AFD中，由勾股定理，得
AF=

100-36

=8．
∴AB=4+8=12．
（2）如圖2，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，△PBE∽△DCE
∴

PB

DC

=

BE

CE

．
∵AP=t，
∴BP=12-t．
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴CE=BE=3．
∴

12-t

4

=

3

3

，
∴t=8；
如圖3，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，△PBE∽△ECD，
∴

PB

EC

=

BE

CD

∴

12-t

3

=

3

4

，
∴t=

39

4

．
∴t的值為8或

39

4

；
（3）如圖4，作CB關(guān)于PD的軸對(duì)稱(chēng)圖形C′B′交AB于點(diǎn)G，連接PB′，
∴∠DC′B′=∠C=90°，∠B′=∠B=90°，C′D=CD=4，PB′=PB．
∴AC′=6，
如圖1，在Rt△AFD中，AD=10，DF=6，AF=8，
tan∠A=

3

4

，cos∠A=

4

5

．
在Rt△AC′G中，
tan∠A=

GC′

AC′

=

3

4

，
∴

GC′

6

=

3

4

，
∴GC′=

9

2

，
cos∠A=

AC′

AG

=

4

5

，
∴

6

AG

=

4

5

，
∴AG=

15

2

，
∴GP=t-

15

2

，PB=PB′=12-t，
∵△AC′G∽△PB′G，
∴

AG

PG

=

AC′

PB′

，
∴

15 2

t- 15 2

=

6

12-t

，
∴t=10．
故答案為：10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角梯形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，在解答時(shí)證明三角形相似是關(guān)鍵，運(yùn)用三角形相似的性質(zhì)求線(xiàn)段的長(zhǎng)是重點(diǎn)．