精英家教網(wǎng)如圖二次函數(shù)y=
12
x2-2x+4
的圖象交y軸于點(diǎn)A,頂點(diǎn)為點(diǎn)B.
(1)判斷點(diǎn)B是否在直線y=x上,并說明理由;
(2)若直線y=kx+1交y軸于點(diǎn)P,交直線AB于點(diǎn)C,若△APC為等腰三角形,求直線y=kx+1的解析式.
分析:(1)將已知的二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)坐標(biāo)式,即可得到頂點(diǎn)B的坐標(biāo),然后將其坐標(biāo)代入直線OB中進(jìn)行驗(yàn)證即可.
(2)根據(jù)直線PC的坐標(biāo),可確定P(0,1),根據(jù)A、B的坐標(biāo)可知,△ABO是等腰直角三角形,然后分三種情況考慮:
①AC=PC,此時(shí)PC與OB平行,即直線PC的斜率為1,可據(jù)此確定該直線的解析式;
②AP=PC,此時(shí)PC與x軸平行,即k=0,該直線的解析式為y=1;
③AP=AC=3,過C作CD⊥x軸于D,設(shè)直線AB與x軸的交點(diǎn)為E,易得CE的長(zhǎng),而△CDE是等腰直角三角形,即可求得CD、DE的長(zhǎng),從而得到點(diǎn)C的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求得此時(shí)直線PC的解析式.
解答:解:(1)已知y=
1
2
x2-2x+4
=
1
2
(x-2)2+2,
故B(2,2);
代入直線y=x中,得2=2,
所以點(diǎn)B在直線y=x上.

(2)由于A(0,4),B(2,2);精英家教網(wǎng)
故△AOB是等腰直角三角形,且∠ABO=90°;
易知:P(0,1),AP=3,
分三種情況:
①AC=PC,則PC∥OB,由于直線OB:y=x,則直線PC:y=x+1;
②AP=PC,此時(shí)AP⊥y軸,即AP∥x軸,故k=0,直線PC:y=1;
③AP=AC=3,過C作CD⊥x軸于D;
則CE=AE-AC=4
2
-3,CD=DE=4-
3
2
2
,OD=OE-DE=
3
2
2

故C(
3
2
2
,4-
3
2
2
),代入直線y=kx+1,
得:
3
2
2
k+1=4-
3
2
2
,k=
2
-1;
故直線PC:y=(
2
-1)x+1;
綜上所述,直線y=kx+1的解析式為:y=x+1或y=1或y=(
2
-1)x+1.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的構(gòu)成情況、一次函數(shù)解析式的確定等知識(shí),要注意的是(2)題中,由于等腰三角形的腰和底沒有明確告知,需要分類討論,以免漏解.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1997•陜西)如圖所示的拋物線是把y=-x2經(jīng)過平移而得到的.這時(shí)拋物線過原點(diǎn)O和x軸正向上一點(diǎn)A,頂點(diǎn)為P;
①當(dāng)∠OPA=90°時(shí),求拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)及解析表達(dá)式;
②求如圖所示的拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)在-
1
2
≤x≤
1
2
時(shí)的最大值和最小值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(本題12分)如圖二次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點(diǎn),

且交軸于點(diǎn).

(1)試確定、的值;

(2)過點(diǎn)軸交拋物線于點(diǎn)D,點(diǎn)為此拋物線的頂點(diǎn),試確定 的形狀.

 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(本題12分)如圖二次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點(diǎn),
且交軸于點(diǎn).

(1)試確定的值;
(2)過點(diǎn)軸交拋物線于點(diǎn)D,點(diǎn)為此拋物線的頂點(diǎn),試確定 的形狀.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2012屆浙江省新昌縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)上學(xué)期期中階段性測(cè)試數(shù)學(xué)卷 題型:解答題

(本題12分)如圖二次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點(diǎn),
且交軸于點(diǎn).

(1)試確定、的值;
(2)過點(diǎn)軸交拋物線于點(diǎn)D,點(diǎn)為此拋物線的頂點(diǎn),試確定 的形狀.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年浙江省九年級(jí)上學(xué)期期中階段性測(cè)試數(shù)學(xué)卷 題型:解答題

(本題12分)如圖二次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點(diǎn),

且交軸于點(diǎn).

(1)試確定、的值;

(2)過點(diǎn)軸交拋物線于點(diǎn)D,點(diǎn)為此拋物線的頂點(diǎn),試確定 的形狀.

 

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