Question

如圖1，將三角板放在正方形上，使三角板的直角頂點與正方形的頂點重合，三角扳的一邊交于點．另一邊交的延長線于點．

（1）求證：；
（2）如圖2，移動三角板，使頂點始終在正方形的對角線上，其他條件不變，題（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給予證明：若不成立．請說明理由：
（3）如圖3，將（2）中的“正方形”改為“矩形”，且使三角板的一邊經過點，其他條件不變，若，求的值．

Answer 1

（1）見解析
（2）成立．
（3）．

（1）由∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，得∠DEF=∠GEB，再有ED=BE，即證得Rt△FED≌Rt△GEB，則EF=EG；
（2）過點E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為H、I，則EH=EI，∠HEI=90°，由∠GEH+∠HEF=90°，∠IEF+∠HEF=90°，得∠IEF=∠GEH，即可證得Rt△FEI≌Rt△GEH，則EF=EG；
（3）過點E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為M、N，∠MEN=90°，則EM∥AB，EN∥AD，即得△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，根據相似三角形的對應邊成比例可得，，即得，從而可得=，再證得△GME∽△FNE即可得到結果。