Question

9．在平面直角坐標(biāo)系中有一個正方形OACB，點A坐標(biāo)為（4，0），M、N分別是OA、AC上的兩個動點，當(dāng)M點在OA上運動時，一直保持BM和MN垂直．
（1）證明：Rt△BOM∽RtMAN；
（2）設(shè)OM=x，梯形BOAN的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)點M點運動到什么位置時S_△BOM：S_MAN=9：1，求x的值，并求出此時點N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由BM與MN垂直，利用垂直的定義及平角定義得到一對角互余，再由直角三角形BOM中兩銳角互余，利用同角的余角相等得到一對角相等，利用兩對角相等的三角形相似即可得證；
（2）由相似得比例，表示出AN，利用梯形面積公式列出y與x的函數(shù)關(guān)系式即可；
（3）由三角形BOM與三角形MAN面積之比求出相似比，確定出x的值，即可求出N坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵BM⊥MN，
∴∠BMN=90°，即∠BMO+∠AMN=90°，
∵∠BMO+∠OBM=90°，
∴∠AMN=∠OBM，
∵正方形OBCA中，∠BOM=∠MAN=90°，
∴Rt△BOM∽Rt△MAN；
（2）∵△BOM∽△MAN，
∴$\frac{BO}{MA}$=$\frac{OM}{AN}$，
∵A（4，0），正方形OBCA，
∴OB=OA=4，
∵OM=x，
∴AM=4-x，
∴$\frac{4}{4-x}$=$\frac{x}{AN}$，即AN=$\frac{x（4-x）}{4}$，
則梯形BOAN面積y=$\frac{1}{2}$（AN+OB）•OA=2[$\frac{x（4-x）}{4}$+4]=$\frac{x（4-x）}{2}$+8=-$\frac{1}{2}$x²+2x+8；
（3）∵△BOM∽△MAN，且S_△BOM：S_MAN=9：1，
∴$\frac{BO}{MA}$=$\frac{OM}{AN}$=3：1=3，
∴$\frac{4}{4-x}$=3，即x=$\frac{8}{3}$，
∴AN=$\frac{\frac{8}{3}×（4-\frac{8}{3}）}{4}$=$\frac{8}{9}$，
則N（4，$\frac{8}{9}$）．

點評 此題屬于相似形綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．