Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點F為AC中點，⊙O經(jīng)過點B，F(xiàn)，且與AC交于點D，與AB交于點E，與BC交于點G，連結(jié)BF，DE，弧EFG的長度為（1+

3

2

）π．
（1）求⊙O的半徑；
（2）若DE∥BF，且AE=a，DF=2+

3

-a，請判斷圓心O和直線BF的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點：點與圓的位置關(guān)系,弧長的計算

專題：

分析：（1）設(shè)⊙O的半徑為r，再根據(jù)弧長公式即可得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)DE∥BF得出∠ADE=∠AFB，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠AFB+∠DEB=180°，進而得出AF的長．在Rt△ABC中，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出BF的長，再由B、F都在⊙O上即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)⊙O的半徑為r，
∵∠ABC=90°
∴弧EFG所對的圓心角的度數(shù)為180°，
∴

180πr

180

=（1+

3

2

）π，即r=1+

3

2

；
                       
（2）答：圓心O在直線BF上．
理由如下：
∵DE∥BF，
∴∠ADE=∠AFB．
∵四邊形DEBF是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠AFB+∠DEB=180°．
∵∠AED+∠DEB=180°，
∴∠AFB=∠AED，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE=a．
∵DF=2+

3

-a，
∴AF=AD+DF=2+

3

．            
在Rt△ABC中，∠ABC=90°且F為AC中點，
∴BF=AF=2+

3

．     
∵r=1+

3

2

，
∴BF=2r．
∵B、F都在⊙O上，
∴BF為⊙O直徑，
∴點O在直線BF上．

點評：本題考查的是點與圓的位置關(guān)系，熟知弧長公式、直角三角形的性質(zhì)及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．