Question

如圖，對(duì)稱軸為直線x=2的拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，0）．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）已知a=-1，C為拋物線與y軸的交點(diǎn)．
①若點(diǎn)P在拋物線上，且S_△POC=3S_△BOC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； 
②當(dāng)直線BC左右平移時(shí)，直線與x軸、y軸分別交于D、E，對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使得△DEM為等腰直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由拋物線y=ax²+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=2，交x軸于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，0），根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，即可求得B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）①a=-1時(shí)，先由對(duì)稱軸為直線x=2，求出b的值，再將B（-1，0）代入，求出二次函數(shù)的解析式為y=-x²+2x+3，得到C點(diǎn)坐標(biāo)，然后設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-x²+2x+3），根據(jù)S_△POC=3S_△BOC列出關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，進(jìn)而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②當(dāng)∠PDE=90°時(shí)，先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=3x+3，再設(shè)則直線DE為：y=3x+3+b，求得D（-

3+b

3

，0），E（0，3+b），得出DG=2+

3+b

3

，OE=3+b，然后根據(jù)△DOE≌△MGD得出DG=OE，進(jìn)而求得GM的長(zhǎng)，即可求得M的坐標(biāo)；當(dāng)∠DME=90°時(shí)，根據(jù)題意△EFM≌△NMD，得出MN=EF=2，即可求得M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵對(duì)稱軸為直線x=2的拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，
∴A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線x=2對(duì)稱，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，0），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，0）；
（2）①a=-1時(shí)，∵拋物線y=-x²+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=2，
∴

-b

-1×2

=2，解得b=4．
將B（-1，0）代入y=-x²+4x+c，
得-1-4+c=0，解得c=5．
則二次函數(shù)的解析式為y=-x²+4x+5，
∴拋物線與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5），OC=5．
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-x²+4x+5），
∵S_△POC=4S_△BOC，
∴

1

2

×5×|x|=3×

1

2

×5×1，
∴|x|=3，x=±

3

．
當(dāng)x=

3

時(shí)，-x²+2x+3=2

3

當(dāng)x=-

3

時(shí)，-x²+2x+3=-2

3

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3

，2

3

）或（-

3

，-2

3

）；

②有兩種情況：
當(dāng)∠PDE=90°時(shí)，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，0），C（0，3），
∴直線BC為：y=3x+3，
∴直線DE為：y=3x+3+b，
∴D（-

3+b

3

，0），E（0，3+b），
∴DG=2+

3+b

3

，OE=3+b，
∵△DEM為等腰直角三角形，
∴△DOE≌△MGD，
∴DG=OE，
∴2+

3+b

3

=3+b，
解得：b=0，
∴MG=OB=1，
∴M（2，-1），
當(dāng)∠DME=90°時(shí)，根據(jù)題意△EFM≌△NMD，
∴MN=EF=2，
∴M（2，2）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形面積、線段長(zhǎng)度問題．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用方程思想與數(shù)形結(jié)合思想．