Question

6．如圖，在△ABC中，已知CD為邊AB上的高，正方形EFGH的四個(gè)頂點(diǎn)分別在△ABC上，求證：$\frac{1}{AB}=\frac{1}{CD}=\frac{1}{EF}$．

Answer 1

分析 根據(jù)正方形的性質(zhì)得到EF⊥AB，證得EF∥CD，得到△AEF∽△ACD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{EF}{CD}=\frac{AE}{AC}$①，由△CEH∽△CAB，得到$\frac{EH}{AB}=\frac{CE}{AC}$，由于EH=EF，得到$\frac{EF}{AB}=\frac{CE}{AC}$②，①+②得$\frac{EF}{CD}+\frac{EF}{AB}=\frac{AE}{AC}+\frac{CE}{AC}$=1，即可得到結(jié)論．

解答 證明：∵四邊形EFGH是正方形，
∴EF⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴EF∥CD，
∴△AEF∽△ACD，
∴$\frac{EF}{CD}=\frac{AE}{AC}$①，
∵EH∥AB，
∴△CEH∽△CAB，
∴$\frac{EH}{AB}=\frac{CE}{AC}$，
∵EH=EF，
∴$\frac{EF}{AB}=\frac{CE}{AC}$②，
①+②得，$\frac{EF}{CD}+\frac{EF}{AB}=\frac{AE}{AC}+\frac{CE}{AC}$=1，
∴$\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{1}{EF}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．