Question

如圖，∠AOB=60°，點M是射線OB上的點，OM=4，以點M為圓心，2cm為半徑作圓．若OA繞點O按逆時針方向旋轉，當OA和⊙M相切時，OA旋轉的角度是

 

．

Answer 1

分析：OA與⊙O相切時，有兩種情況：①切線在OB右側；②切線在OB左側；解法相同，都是連接圓心與切點，通過構建的直角三角形求解．

解答：解：如圖；
①當OA旋轉到OE位置時，與圓M相切于點E，連接ME；
則ME=2，∠MEO=90°；
Rt△OEM中，sin∠MOE=

ME

OM

=

1

2

，
∴∠MOE=30°，
∴∠AOE=∠AOB-∠MOE=30°；
②當OA旋轉到OF位置時，與圓M相切于點F，連接MF；
則MF=2，∠MFO=90°；
Rt△OFM中，sin∠MOF=

MF

OM

=

1

2

，
∴∠MOF=30°，
∴∠AOF=∠AOB+∠FOB=90°；
故OA旋轉的角度為30°或90°．

點評：本題考查了圓的切線性質，及解直角三角形的知識．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．需注意的是本題中，切線的位置有兩種可能，要分類討論，不要漏解．