Question

如圖，∠AOB=60°，M，N是OB上的點，OM=4，MN=2

3

．
（1）設(shè)⊙O過點M、N，C、D分別是MN同側(cè)的圓上點和圓外點．求證：∠MCN＞∠MDN；
（2）若P是OA上的動點，求∠MPN的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)同弧所對的圓周角相等，以及三角形的外角大于不相鄰的內(nèi)角，即可證得；
（2）利用圓周角定理得出設(shè)過M、N作圓F與OA相切于點Q，求出∠MQN即為所求角．

解答：（1）證明：當C在MD上或在MC上時，如圖，
顯然∠MCN＞∠MDN（三角形的外角大于不相鄰的內(nèi)角），
當C不在MD上或在MC上時，如圖，
設(shè)MD與圓交于E點，連接NE，
則∠MEN=∠MCN（同弧上的圓周角相等），
而∠MEN＞∠MDN，
∴∠MCN＞∠MDN；

（2）解：設(shè)過M、N作圓F與OA相切于點Q，
由（1）知：∠MQN即為所求角，
作MN的垂直平分線分別交OA、OB于G、H，
則圓心F在GH上，
設(shè)FQ=FM=r，
∵∠AOB=60°，∠OHG=90°，
∴∠OGH=30°，
∴FG=2r，HF=

MF2-MH2

=

r2-( 3 )2

，
則GH=

r2-3

+2r=3+4

3

，
解得r=2

3

，
則∠MQN=

1

2

∠MFN=30°，
∴∠MPN的最大值為30°．

點評：此題主要考查了圓周角定理以及切線的性質(zhì)和勾股定理等知識，根據(jù)圓周角定理得出正確圖形是解題關(guān)鍵．