Question

16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A（-2，0）、B（0，1）、C（m，n）．
（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）將△ABC沿x軸的正方向平移，在第一象限內(nèi)B、C兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′、C′正好落在某反比例函數(shù)圖象上．請(qǐng)求出這個(gè)反比例函數(shù)和此時(shí)的直線B′C′的解析式；
（3）在（2）的條件下，直線B′C′交y軸于點(diǎn)G．問是否存在x軸上的點(diǎn)M和反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)P，使得四邊形PGMC′是平行四邊形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M和點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由在平面直角坐標(biāo)系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，可證得△ADC≌△BOA，繼而求得C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）首先設(shè)向右平移了m個(gè)單位長度，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（m，1）、C′的坐標(biāo)為（m-3，2），由B′、C′正好落在某反比例函數(shù)圖象上，即可得m=2（m-3），繼而求得m的值，則可求得各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后由待定系數(shù)法求得這個(gè)反比例函數(shù)和此時(shí)的直線B′C′的解析式；
（3）由四邊形PGMC′是平行四邊形，可得PC′相當(dāng)于MG平移的得到，PF=ME，F(xiàn)G=C′E=2，繼而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后求得點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）如圖1，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，則∠ADC=∠AOB=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵Rt△ABC，∠A=90°，
∴∠DAC+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠ACD，
在△ADC和△BOA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠BOA}\\{∠ACD=∠BAO}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BOA（AAS），
∴AD=OB=1，CD=OA=2，
∴OD=OA+AD=3，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（-3，2）；

（2）設(shè)向右平移了m個(gè)單位長度，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（m，1）、C′的坐標(biāo)為（m-3，2），
∵B′、C′正好落在某反比例函數(shù)圖象上，
∴m=2（m-3），
解得：m=6，
∴B′（6，1），C′（3，2），
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=$\frac{6}{x}$；
設(shè)直線B′C′的解析式為：y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=1}\\{3k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線B′C′的解析式為：y=-$\frac{1}{3}$x+3；

（3）存在．
理由：如圖2，過點(diǎn)C′作C′E⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PF⊥y軸于點(diǎn)F，
∵四邊形PGMC′是平行四邊形，
∴PC′相當(dāng)于MG平移的得到，
∴PF=ME，F(xiàn)G=C′E=2，
∵G是直線B′C′與x軸的交點(diǎn)，
∴G的坐標(biāo)為：（0，3），
∴P的縱坐標(biāo)為：3+2=5，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（$\frac{6}{5}$，5），
∴ME=PF=$\frac{6}{5}$，
∵A′的坐標(biāo)為：（4，0），A′E=AD=1，
∴OM=OA′-ME-A′E=4-$\frac{6}{5}$-1=$\frac{9}{5}$，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（$\frac{9}{5}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于反比例函數(shù)綜合題．考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式、平移的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．