Question

如圖，AD為△ABC的中線，BE為△ABD的中線．
（1）∠ABE=15°，∠BAD=40°，求∠BED的度數(shù)；
（2）在△BED中作BD邊上的高，垂足為F；
（3）若△ABC的面積為40，BD=5，則△BDE中BD邊上的高為多少？
（4）過點(diǎn)E作EG∥BC，連接EC、DG且相交于點(diǎn)O，若S_△ABC=a，S_△COD=b，求S_△GOC．（用含a、b的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式計算即可得解；
（2）根據(jù)三角形高線的定義，過點(diǎn)E作BD邊上的垂線段即可；
（3）根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可知三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形，求出△BDE的面積為10，再根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可得解；
（4）先判定EG是△ACD的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理可得EG=

1

2

CD，再根據(jù)平行線分線段成比例定理求出OG：OD的比值，然后根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊的比解答．

解答：解：（1）∵∠ABE=15°，∠BAD=40°，
∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+40°=55°；

（2）如圖，EF即為△BED邊BD上的高線；

（3）∵AD為△ABC的中線，BE為△ABD的中線，
∴S_△ABD=

1

2

S_△ABC，S_△BDE=

1

2

S_△ABD，
∴S_△BDE=

1

2

×

1

2

S_△ABC=

1

4

S_△ABC，
∵△ABC的面積為40，
∴S_△BDE=

1

4

×40=10，
∵BD=5，
∴

1

2

×5•EF=10，
解得EF=4；

（4）∵BE為△ABD的中線，
∴點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，
∵過點(diǎn)E作EG∥BC，
∴EG是△ACD的中位線，
∴EG=

1

2

CD，
∵EG∥BC，
∴

OG

OD

=

EG

CD

=

1

2

，
∵S_△COD=b，
∴S_△GOC=

1

2

b．

點(diǎn)評：本題考查了三角形的中線、高線，以及三角形的面積熟練掌握并利用等底等高的三角形的面積相等與等高的三角形的面積的比等于底邊的比是解題的關(guān)鍵．