Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，已知，．

求拋物線的表達(dá)式；

在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；

點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為或或；（3）當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；

（2）可設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，從而可表示出PC、PD的長，由條件可得PC=CD或PD=CD，可得到關(guān)于P點(diǎn)坐標(biāo)的方程，可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）根據(jù)拋物線的解析式求得B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，可設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，則可表示出點(diǎn)F的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出EF的長度，則可表示出△CBF的面積，從而可表示出四邊形CDBF的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可求得其最大值及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo).

把，代入得，解得，

拋物線解析式為；

存在．

拋物線的對(duì)稱軸為直線，

則，

，

如圖1，當(dāng)時(shí)，則；

當(dāng)時(shí)，則，，

綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為或或；

當(dāng)時(shí)，，解得，，則，

設(shè)直線BC的解析式為，

把，代入得，解得，

直線BC的解析式為，

設(shè)，則，

，

，

而，

，

當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為．