【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn),∠BAC的平分線AD交⊙O于點(diǎn)D,過點(diǎn)D垂直于AC的直線交AC的延長線于點(diǎn)E.

(1)求證:DE是⊙O的切線;

(2)如果AD=5,AE=4,求AC長.

【答案】(1)證明見解析;(2)

【解析】

試題分析:(1)連接OD,由AD為角平分線,得到一對角相等,再由OA=OD,得到一對角相等,等量代換得到一對內(nèi)錯(cuò)角相等,利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行可得AE與OD平行,由兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ),得到∠E與∠EDO互補(bǔ),再由∠E為直角,可得∠EDO為直角,即DE為圓O的切線,得證;

(2)連接BD,過點(diǎn)A作AF⊥AC,由AB為圓O的直徑,根據(jù)直徑所對的圓周角為直角,得到∠ADB為直角,在直角三角形ABD中,利用銳角三角函數(shù)定義得到cos∠DAB的值,又在直角三角形AED中,由AE及AD的長,利用銳角三角函數(shù)定義求出cos∠EAD的值,由∠EAD=∠DAB,得到cos∠EAD=cos∠DAB,得出cos∠DAB的值,即可求出直徑AB的長,由勾股定理和垂徑定理即可求出AC長.

試題解析:(1)連接OD,如圖1所示:

∵AD為∠CAB的平分線,

∴∠CAD=∠BAD,

又∵OA=OD,

∴∠BAD=ODA,

∴∠CAD=∠ODA,

∴AC∥OD,

∴∠E+∠EDO=180°,

又∵AE⊥ED,即∠E=90°,

∴∠EDO=90°,

則ED為圓O的切線;

(2)連接BD,如圖2所示,過點(diǎn)A作AF⊥AC,

∵AB為圓O的直徑,

∴∠ADB=90°,

在Rt△ABD中,cos∠DAB=,

在Rt△AED中,AE=4,AD=5,

∴cos∠EAD=,又∠EAD=∠DAB,

∴cos∠DAB=cos∠EAD=

則AB=AD=,即圓的直徑為,

∴AO=,

∵∠E=∠EDO=∠EFO=90°,

∴四邊形EFOD是矩形,

∴OF=DE=3,

∴AF=,

∴AC=2AF=

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