Question

如圖，一次函數(shù)y₁=ax+b（a≠0）的圖象與反函數(shù)函數(shù)y2=

k

x

（k≠0）的圖象交于二、四象限內(nèi)A、B兩點，與x軸交于點C（2，0），與y軸交于點D，已知AC=10，tan∠ACO=

4

3

．
（1）求函數(shù)y₁與y₂的關(guān)系式；
（2）若y軸上有一點e，使DE=4，且B（m，-

16

3

），求△ABE的面積．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

專題：計算題

分析：（1）由C坐標(biāo)求出OC的長，在直角三角形COD中，根據(jù)tan∠ACO的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出OD的長，確定出D坐標(biāo)，將C與D坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出k與b的值，即可確定出一次函數(shù)解析式，根據(jù)A在一次函數(shù)圖象上，設(shè)出A坐標(biāo)，表示出AE于EC的長，由AC的長，利用勾股定理列出關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值，確定出A坐標(biāo)，即可得出反比例解析式；
（2）將B坐標(biāo)代入反比例解析式中求出m的值，即為三角形ABE中，邊DE上的高，求出面積即可．

解答：解：（1）∵C（2，0），∴OC=2，
在Rt△COD中，tan∠ACO=

OD

OC

=

4

3

，即OD=

8

3

，
∴D（0，

8

3

），
將C（2，0）和D（0，

8

3

）代入y₁=ax+b得：

2a+b=0 b= 8 3

，
解得：

a=- 4 3 b= 8 3

，
∴y₁=-

4

3

x+

8

3

；
過A作AE⊥x軸，與x軸交于E點，
設(shè)A（n，-

4

3

n+

8

3

），即AE=-

4

3

n+

8

3

，OE=-n，則有EC=OE+OC=2-n，
在Rt△AEC中，根據(jù)勾股定理得：AC²=AE²+EC²，即100=（-

4

3

n+

8

3

）²+（2-n）²，
解得：n=8（舍去）或n=-4，
∴A（-4，8），
將A代入反比例解析式得：k=-32，
則y₂=-

32

x

；

（2）將B（m，-

16

3

）代入反比例解析式得：-

16

3

=

-32

m

，即m=6，
∴S_△BED=

1

2

×DE×m=12．

點評：此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，涉及的知識有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，勾股定理，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．