Question

已知：如圖，AB為⊙O的直徑，C是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CP切⊙O于P，弦PD⊥AB于E，過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥CP于Q，交⊙O于H，G是上一點(diǎn)，且=，連接AG交PD于F，連接BF，若PD=，tan∠BFE=．
求：（1）∠C的度數(shù)；
（2）△AEF和△ABG的面積；
（3）QH的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OP，求出∠OPC=90°，∠BAF=30°，設(shè)EF=x，則AE=，BE=3x，AB=4x，OB=2x，OE=x，根據(jù)cos∠POA==，求出∠POA=60°即可；
（2）由垂徑定理得出PE=PD=3，在△CPE中，由勾股定理求出x=，求出AE=x=3，EF=，根據(jù)三角形的面積公式求出即可；根據(jù)AB=4x=12，求出∠BAG=30°，推出BG=6，由勾股定理求出AG=6，根據(jù)三角形的面積公式求出即可；
（3）由勾股定理求出CP=6，由切割線定理得出PC²=AC×BC，求出AC=6，BC=18，根據(jù)∠C=30°，∠Q=90°求出BQ=BC=9，由勾股定理求出CQ=9，PQ=3，由切割線定理得出PQ²=QH×BQ，代入求出即可．
解答：（1）解：連接OP，
∵CP切⊙O于P，
∴∠OPC=90°，
∵=，
∴∠BAF=30°，
設(shè)EF=x，則AE=x，
∵tan∠BFE=3，
∴BE=3x，
AB=4x，OB=2x，OE=x，
∴cos∠POA==，
∴∠POA=60°，
∴∠C=90°-60°=30°；

（2）解：由垂徑定理得：PE=PD=3，
∵在△OPE中，由勾股定理得：OP²=OE²+PE²，
∴=+，
x=，
∴AE=x=3，EF=，
∴S_△AEF=×AE×EF=×3×=，
∵AB=4x=12，
∴∠BAG=30°，
∴BG=6，
由勾股定理的：AG=6，
∴S_△ABG=×AG×BG=×6×6=18；

（3）解：∵由（2）知：OE=x=3，OP=2x=6，AB=12，∠C=30°，
∴OC=12，
由勾股定理得：CP=6，
∵CP是切線，CAB是割線，由切割線定理得：PC²=AC×BC，
∴=AC×（AC+12），
AC=6，
∴BC=18，
∵∠C=30°，∠Q=90°，
∴BQ=BC=9，
∴由勾股定理得：CQ=9，
∴PQ=3，
∵由切割線定理得：PQ²=QH×BQ，
=9QH，
∴QH=3．
答：QH的長(zhǎng)是3．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)，切割線定理，勾股定理，三角形的面積，含30度角的直角三角形等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．