Question

如圖，點A在射線OP上，OA等于2cm．我們定義如下兩種操作
操作一：30°旋轉(zhuǎn)操作，記為X：
OA繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°到OB，那么點B的位置可以用（2，30°）表示；OB繞點O再按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°到OC，那么點C的位置可以用（2，60°）表示．
操作二：線段加倍操作，記為Y：
如圖，如果延長OA到點A′，使OA′=2OA，那么點A′的位置可以用（4，0°）表示；如果延長OB到點B′，使OB′=2OB，那么點B′的位置可以用（4，30°）表示．
（1）現(xiàn)操作如下：
第一次對點A進(jìn)行X操作，得到第一個點A₁，其位置可以表示為（

 

，

 

°）；
第二次對點A₁進(jìn)行Y操作，得到第二個點A₂，其位置可以表示為（

 

，

 

°）；
第三次對點A₂進(jìn)行X操作，得到第三個點A₃，其位置可以表示為（

 

，

 

°）；
第四次對點A₃進(jìn)行Y操作，得到第四個點A₄，其位置可以表示為（

 

，

 

°）；
…，如此依次進(jìn)行操作X、Y、X、Y、…，可得到若干點；
（2）按如上操作，若經(jīng)過t次操作后得到點A₂₀₀₈，其位置表示為（p，q°），則t、p、q的值分別為多少？
（3）若經(jīng)過若干次操作后得到第i個點A_i，其位置表示為（m，n°），試用字母i的代數(shù)式表示m、n．

Answer 1

分析：（1）進(jìn)行X操作，30°旋轉(zhuǎn)操作，進(jìn)行Y操作，線段加倍，可得答案；
（2）觀察可得到點A₂₀₀₈，需進(jìn)行2008次操作，那么t=2008，偶數(shù)次操作是線段長度變化的開始為2¹⁰⁰⁵，進(jìn)而可得答案；
（3）結(jié)合（2）得到規(guī)律，對i分為奇數(shù)和偶數(shù)進(jìn)行分析可得答案．

解答：解：（1）A₁（2，30°），A₂（4，30°），A₃（4，60°），A₄（8，60°）（4分）
每個括號兩個都填對，給（1分），共（4分）；

（2）t=2008，p=2¹⁰⁰⁵，q=30×1004=30120．（10分）
答對一問給（2分），共（6分）；

（3）當(dāng)i為奇數(shù)時，m=2

i+1

2

，n=30×

i+1

2

=15(i+1)，
當(dāng)i為偶數(shù)時，m=2

i

2

+1=2

i+2

2

，n=15i．
代數(shù)式可以不化簡，每種情況答對給（2分），共（4分）．（14分）

點評：解答此題的關(guān)鍵是理解操作的要點，難點是得到相應(yīng)的規(guī)律．