Question

如圖，已知在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，P是線段AD上的任意一點（不含端點A、D），連接PC，過點P作PE⊥PC交AB于E，則BE的取值范圍是

1. A.
   0＜BE＜4
2. B.
   
3. C.
   2≤BE＜4
4. D.
   

Answer 1

B
分析：由于BE的最大值為AB的長即2，因此只需求得BE的最小值即可；設(shè)AP=x，AE=y，根據(jù)△AEP∽△DPC可得AP•PD=AE•CD，用x、y表示出其中的線段，即可得到關(guān)于x、y的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得y的最大值，由此可求得BE的最小值，即可得到BE的取值范圍．
解答：∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠A=∠D，
∴∠AEP+∠APE=90°，
∵PE⊥PC
∴∠APE+∠CPD=90°，
∴∠AEP=∠DPC，
∴△AEP∽△DPC；
設(shè)DP=x，BE=y，則AE=4-y，AP=6-x，
∵△AEP∽△DPC，
∴=，代入整理可得：y=x²-x+4=（x-3）²+，
故BE的最小值為，又因為BE的最大值為4，
∴BE的范圍為≤BE＜4．
故選B．
點評：此題主要考查的是矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)最值的應(yīng)用，關(guān)鍵是證明△AEP∽△DPC，這一點不容易想到，難度較大，另外要求我們熟練掌握二次函數(shù)的最值的求解辦法．