Question

如圖，已知在矩形ABCD中，AB=3，點E在BC上且∠BAE=30°，延長BC到點F使CF=BE，連接DF．
（1）判斷四邊形AEFD的形狀，并說明理由；
（2）求DF的長度；
（3）若四邊形AEFD是菱形，求菱形AEFD的面積．

Answer 1

分析：（1）由矩形的性質(zhì)可知：AD∥BC，AD=BC，又BE=CF，可得：AD=EF，根據(jù)平行四邊形的判定定理：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，從而可知：四邊形AEFD為平行四邊形；
（2）由（1）知：DF=AE，在Rt△ABE中，已知∠BAE，AB的值，運用勾股定理可將斜邊AE的長即AE的長求出；
（3）若四邊形AEFD是菱形，可知：AD=AE，又知菱形的高AB的長，代入菱形面積公式S=AB•AD進行求解即可．

解答：解：
（1）四邊形AEFD是平行四邊形，
由已知矩形ABCD得：AD∥BC，AD=BC．
又BE=CF，∴AD=BC=EF．
∴四邊形AEFD是平行四邊形．

（2）∵四邊形AEFD是平行四邊形，
∴DF=AE．
在Rt△ABE中，∠BAE=30°，AB=3，
∴AE=2BE．
設(shè)AE=2x，BE=x，則有：（2x）²+x²=3²
解得：x=

3

．
∴DF=AE=2

3

．

（3）∵四邊形AEFD是菱形，
∴AD=AE=2

3

．
∴S_菱形=AB•AD=3×2

3

=6

3

．

點評：本題考查平行四邊形的判定定理，勾股定理在解直角三角形中的應用及菱形面積的求法等知識點．