Question

【題目】如圖，拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)，直線y=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與這條拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)M（1，2），且點(diǎn)M與拋物線的頂點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱．

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)題中的拋物線與直線的另一交點(diǎn)為C，已知P（x，y）為線段AC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)Q．求線段PQ的最大值及此時(shí)P坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，求△AQC面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）PQ有最大值=，此時(shí)P(2,3)；（3）

【解析】

（1）由于點(diǎn)M和拋物線頂點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，即可得到點(diǎn)N的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)式函數(shù)解析式；

（2）將點(diǎn)A與點(diǎn)M的坐標(biāo)代入y=kx+b求出k與b的值，確定直線AC的解析式，得到點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，x+1），根據(jù)直線AC和拋物線的解析式，即可得到P、Q的縱坐標(biāo)，從而得到關(guān)于PQ的長(zhǎng)和P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出PQ的最大值及對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）由于△AQC面積=△AQP面積+△CPQ面積，根據(jù)三角形面積公式將PQ的最大值代入計(jì)算即可求解．

（1）由題意知，拋物線頂點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，-2），

（2）由（1）得：x=-1或3，即A（-1，0）、B（3，0）；

∵將A（-1，0）、M（1，2）代入y=kx+b中得：
解得：
∴直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=x+1，

解方程組

得x=-1或5，即A（-1，0）、C（5，6）；

∴點(diǎn)P在線段AC之間
設(shè)P坐標(biāo)為（x，x+1），則Q的坐標(biāo)為
∴PQ=（x+1） - （）=

時(shí)

有最大值

此時(shí)

（3）