(2013•重慶)如圖,已知拋物線y=x2+bx+c的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B(5,0),另一個(gè)交點(diǎn)為A,且與y軸交于點(diǎn)C(0,5).
(1)求直線BC與拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)M是拋物線在x軸下方圖象上的一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)M作MN∥y軸交直線BC于點(diǎn)N,求MN的最大值;
(3)在(2)的條件下,MN取得最大值時(shí),若點(diǎn)P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點(diǎn),以BC為邊作平行四邊形CBPQ,設(shè)平行四邊形CBPQ的面積為S1,△ABN的面積為S2,且S1=6S2,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
分析:(1)設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n,將B(5,0),C(0,5)兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入,運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式;同理,將B(5,0),C(0,5)兩點(diǎn)∑的坐標(biāo)代入y=x2+bx+c,運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;
(2)MN的長是直線BC的函數(shù)值與拋物線的函數(shù)值的差,據(jù)此可得出一個(gè)關(guān)于MN的長和M點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出MN的最大值;
(3)先求出△ABN的面積S2=5,則S1=6S2=30.再設(shè)平行四邊形CBPQ的邊BC上的高為BD,根據(jù)平行四邊形的面積公式得出BD=3
2
,過點(diǎn)D作直線BC的平行線,交拋物線與點(diǎn)P,交x軸于點(diǎn)E,在直線DE上截取PQ=BC,則四邊形CBPQ為平行四邊形.證明△EBD為等腰直角三角形,則BE=
2
BD=6,求出E的坐標(biāo)為(-1,0),運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線PQ的解析式為y=-x-1,然后解方程組
y=-x-1
y=x2-6x+5
,即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).
解答:解:(1)設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n,
將B(5,0),C(0,5)兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入,
5m+n=0
n=5
,解得
m=-1
n=5
,
所以直線BC的解析式為y=-x+5;
將B(5,0),C(0,5)兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=x2+bx+c,
25+5b+c=0
c=5
,解得
b=-6
c=5
,
所以拋物線的解析式為y=x2-6x+5;

(2)設(shè)M(x,x2-6x+5)(1<x<5),則N(x,-x+5),
∵M(jìn)N=(-x+5)-(x2-6x+5)=-x2+5x=-(x-
5
2
2+
25
4
,
∴當(dāng)x=
5
2
時(shí),MN有最大值
25
4
;

(3)∵M(jìn)N取得最大值時(shí),x=2.5,
∴-x+5=-2.5+5=2.5,即N(2.5,2.5).
解方程x2-6x+5=0,得x=1或5,
∴A(1,0),B(5,0),
∴AB=5-1=4,
∴△ABN的面積S2=
1
2
×4×2.5=5,
∴平行四邊形CBPQ的面積S1=6S2=30.
設(shè)平行四邊形CBPQ的邊BC上的高為BD,則BC⊥BD.
∵BC=5
2

∴BC•BD=30,
∴BD=3
2

過點(diǎn)D作直線BC的平行線,交拋物線與點(diǎn)P,交x軸于點(diǎn)E,在直線DE上截取PQ=BC,則四邊形CBPQ為平行四邊形.
∵BC⊥BD,∠OBC=45°,
∴∠EBD=45°,
∴△EBD為等腰直角三角形,BE=
2
BD=6,
∵B(5,0),
∴E(-1,0),
設(shè)直線PQ的解析式為y=-x+t,
將E(-1,0)代入,得1+t=0,解得t=-1
∴直線PQ的解析式為y=-x-1.
解方程組
y=-x-1
y=x2-6x+5
,得
x1=2
y1=-3
,
x2=3
y2=-4

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1(2,-3)(與點(diǎn)D重合)或P2(3,-4).
點(diǎn)評(píng):本題是二次函數(shù)的綜合題,其中涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式,二次函數(shù)的性質(zhì),三角形的面積,平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),綜合性較強(qiáng),考查學(xué)生運(yùn)用方程組、數(shù)形結(jié)合的思想方法.(2)中弄清線段MN長度的函數(shù)意義是關(guān)鍵,(3)中確定P與Q的位置是關(guān)鍵.
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