Question

2． 如圖，拋物線y=ax²+bx-3與x軸交于A（-1，0）he B（3，0）兩點，交y軸于點E．
（1）求次拋物線的解析式；
（2）若點D是拋物線上的一點（不與點E重合），且S_△ABD=S_△ABE，求點D的坐標．

Answer 1

分析 （1）把點A和B的坐標代入拋物線y=ax²+bx-3得出方程組，解方程組即可；
（2）求出點E的坐標，由A和B的坐標得出AB=4，S_△ABE=6，設點D的坐標為（x，x²-2x-3），分兩種情況：①當點D在x軸下方時，由S_△ABD=S_△ABE，得出方程，解方程即可得出結果；②當點D在x軸上方時，由S_△ABD=S_△ABE，得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）把A（-1，0和B（3，0）代入拋物線y=ax²+bx-3得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3=0}\\{9a+3b-3=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$．
故拋物線的解析式為y=x²-2x-3；
（2）當x=0時，y=-3，
∴E（0，-3），
∵A（-1，0），B（3，0），
∴OA=1，OB=3，
∴AB=4，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$×4×3=6，
設點D的坐標為（x，x²-2x-3），
分兩種情況：如圖所示：
①當點D在x軸下方時，
∵S_△ABD=S_△ABE，
∴$\frac{1}{2}$×4×|x²-2x-3|=6，
解得：x=2，或x=0（不合題意，舍去），
∴x=2，
∴x²-2x-3=-3，
∴D（2，-3）；
②當點D在x軸上方時，
∵S_△ABD=S_△ABE，
∴$\frac{1}{2}$×4×（x²-2x-3）=6，
解得：x=1+$\sqrt{7}$，或x=1-$\sqrt{7}$，
∴點D的坐標為（1+$\sqrt{7}$，3）或（1-$\sqrt{7}$，3）．
綜上所述：點D的坐標為（2，-3）或（1+$\sqrt{7}$，3）或（1-$\sqrt{7}$，3）．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的應用、三角形面積的計算等知識；由待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式是解決問題的關鍵，（2）中需要進行分類討論，避免漏解．