Question

如圖，二次函數y=

1

2

（x-5）（ x+m） （m是常數，m＞0）的圖象與x軸交于點A（5，0）和點B，與y軸交于點C，連結AC．
（1）點B的坐標為

 

，點C的坐標為

 

．（用含m的代數式表示）
（2）求直線AC的函數關系式．
（3）垂直于x軸的直線l在點A與點B之間平行移動，且與拋物線和直線AC分別交于點M、N．設點M的橫坐標為t，線段MN的長為p．
①當t=2時，求證：p為定值；
②若m≤1，則當t為何值時，p取得最大值，并求出這個最大值．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：（1）點B縱坐標為0，點C橫坐標為0，將其直接代入二次函數y=

1

2

（x-5）（x+m）即可求得坐標．
（2）求直線方程一般采用待定系數法，設直線為y=kx+b，代入A、C坐標即可．
（3）①求證p為定值，通常利用表達式表示p，此時p恰為不含字母的式子．因為t=2，此時p=y_N-y_M，這里y_M為點M的縱坐標，y_N為點N的縱坐標②求最值也要首先表示p，不過發(fā)現因為C為拋物線與直線的交點，在-m≤t≤0，p=y_M-y_N，當0≤t≤5時，p=y_N-y_M．如此要分開討論最值，然后在綜合在一起，討論時不要遺漏題目中關于m的限制：0＜m≤1．

解答：解：（1）B（-m，0），C（0，-

5

2

m）． 

（2）設AC的函數關系式為：y=kx+b，
∵A、C在直線上，
∴將A（5，0），C（0，-

5

2

m）的坐標滿足方程，可得：

0=5k+b - 5m 2 =b

   
解得：

k= 1 2 m b=- 5m 2

，
∴y=

1

2

m（x-5）．

（3）①證明：∵t=2，
∴點M的縱坐標y_M=

1

2

 （2-5）（ 2+m）=-

3

2

 （ 2+m），
  點N的縱坐標y_N=

1

2

m（2-5）=-

3

2

m．
∴p=y_N-y_M=-

3

2

m+

3

2

 （2+m）=3，即此時p為定值．
②解：∵設點M的橫坐標為t，線段MN的長為p，
∴點M的縱坐標y_M=

1

2

 （t-5）（t+m）=

1

2

t²+

1

2

（m-5）t-

5

2

m，點N的縱坐標y_N=

1

2

m（t-5）．
當0≤t≤5時，p=y_N-y_M=-

1

2

t²+

5

2

t=-

1

2

（t-

5

2

）²+

25

8

．此時，當t=

5

2

時，p取得最大值為

25

8

．
當-m≤t≤0時，p=y_M-y_N=

1

2

t²-

5

2

t=

1

2

（t-

5

2

）²-

25

8

．此時，此二次函數圖象開口向上，對稱軸為直線t=

5

2

，
∴在-m≤t≤0時，p隨t的增大而減小．當t=-m時，p取得最大值為

1

2

m²+

5

2

m．
對y=

1

2

m²+

5

2

m，根據二次函數性質，此函數開口向上，m=-

5 2

2• 1 2

=-

5

2

為對稱軸，
∴當0＜m≤1，

1

2

m²+

5

2

m的值隨m值的增大而增大．
∴

1

2

m²+

5

2

m≤

1

2

×1²+

5

2

×1=3，
∴

1

2

m²+

5

2

m＜

25

8

．
∴在-m≤t≤5時，當t=

5

2

時p取得最大值，最大值為

25

8

．

點評：本題考查了二次函數的性質，并且設置了多次最值問題的討論，是一道很需要基本功的題目．但是本題思路及方法都屬于常規(guī)套路，綜上是一道質量很高的題目．