Question

 對于平面直角坐標系xOy中的點P和⊙C，給出如下定義：若⊙C上存在兩個點A，B，使得∠APB＝60°，則稱P為⊙C的關(guān)聯(lián)點．已知點D（，），E（0，－2），F（，0）．

(1) 當⊙O的半徑為1時，① 在點D，E，F中，

⊙O的關(guān)聯(lián)點是__________；② 過點F作直線l

交y軸正半軸于點G，使∠GFO＝30°，若直線l

上的點P（m，n）是⊙O的關(guān)聯(lián)點，求m的取值范圍；

(2) 若線段EF上的所有點都是某個圓的關(guān)聯(lián)點，求這個圓的半徑r的取值范圍．

 

Answer 1

 (1) ①D、E ；

②由題意可知，顯然若P點是圓C距圓心最近的關(guān)聯(lián)點，則這個點可在圓心，即這個距離為0.若P點是圓C距圓心最遠的關(guān)聯(lián)點，則點P到圓C的兩條切線PA和PB之間所夾的角度為60°.由右圖可知∠APB= 60°，則∠CPB= 30°，

連接 BC，則 PC=2BC=2r

∴若P點為圓C的關(guān)聯(lián)點；則需點P 到圓心的距離d 滿足 0≤d ≤2r .

∵∠GFO=30°，OF=.

∴OG=2，∴G為l上最左邊的⊙O的關(guān)聯(lián)點.

在GF上取一點M使OM=2，

則為l上⊙O的關(guān)聯(lián)點應(yīng)在GM之間.

過M作MH⊥OF垂足為H

易得△OGM為等邊三角形，在Rt△OMH中，∠MOH=30°∴OH=

即P（m，n）在線段GM上.∴0≤m≤

(2) 若線段 EF 上的所有點都是某個圓的關(guān)聯(lián)點，欲使這個圓的半徑最小，則這個圓的圓心應(yīng)在線段EF的中點；設(shè)這個點為I.

 ∵EF==4

∴IF=2，由前面計算知⊙I的半徑為1，

故若線段EF上的所有點都是某個圓的關(guān)聯(lián)點，

這個圓的半徑r的取值范圍為r≥1.