Question

【題目】已知：如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，E為直角邊AC的中點，過D，E作直線交AB的延長線于F.求證：＝.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

首先由直角三角形的性質(zhì)可得：△CBA∽△ABD，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可得：AB：AC=BD：AD，又由直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，證得：ED=AC=EC，可得：∠C=∠EDC，則易得：∠FAD=∠FDB，∠F為公共角，證得：△DBF∽△ADF，則得：BD：AD=DF：AF，則問題得證．

∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠BAC＝∠ADB＝90°，

又∵∠ABC＝∠ABD，

∴△CBA∽△ABD，

∴∠C＝∠FAD，＝，∴＝，

又∵E為AC的中點，AD⊥BC，

∴ED＝EC＝AC，

∴∠C＝∠EDC，

又∵∠EDC＝∠FDB，

∴∠FAD＝∠FDB，

∵∠F＝∠F，∴△DBF∽△ADF，

∴＝，

∴＝.