Question

【題目】如圖，不等邊△ABC內接于，I是其內心，AI⊥OI，AB＝2，BC＝3，則AC的長為（ ）

A. 4B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

延長AI交⊙O于D，連接OA、OD、BD和BI，可得BD=ID=AI．易證，則OD⊥BC，作IG⊥AB于G，又∠DBE=∠IAG，則BD=AI，所以Rt△BDE≌Rt△AIG，從而得出AB+AC=2BC，代入數據即可得到結論．

證明：如圖1，延長AI交⊙O于D，連接OA、OD、BD和BI，
∵OA=OD，OI⊥AD，
∴AI=ID，
又∠DBI=∠DBC+∠CBI=∠DAC+∠CBI，
=，

因此，BD=ID=AI，
∵I是其內心，
∴AD是∠BAC的平分線，
∴

，∴OD⊥BC，記垂足為E，
∴ ，
作IG⊥AB于G，∵∠DBE=∠IAG，BD=AI，
∴△BDE≌△AIG（AAS），
∴，

如圖2，過O作OM⊥AC，ON⊥BC，
∵I是其內心，
∴AG=AM，CM=CN，BG=BN，
∴AG=AC-CM=AC-（BC-BN）=AC-BC+BN=AC-BC+（AB-AG），
∴，
∴AB+AC=2BC，
∵AB=2，BC=3，
∴AC=4，
故選：A．