Question

【題目】（1）如圖1，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，先將三角板的90°角與∠ACB重合，再將三角板繞點C按順時針方向旋轉（旋轉角大于0°且小于45°）．旋轉后三角板的一直角邊與AB交于點D．在三角板另一直角邊上取一點F，使CF＝CD，線段AB上取點E，使∠DCE＝45°，連接AF，EF．請?zhí)骄拷Y果：

①直接寫出∠EAF的度數＝__________度；若旋轉角∠BCD＝α°，則∠AEF＝____________度（可以用含α的代數式表示）；

②DE與EF相等嗎？請說明理由；

（類比探究）

（2）如圖2，△ABC為等邊三角形，先將三角板中的60°角與∠ACB重合，再將三角板繞點C按順時針方向旋轉（旋轉角大于0°且小于30°）．旋轉后三角板的一直角邊與AB交于點D．在三角板斜邊上取一點F，使CF＝CD，線段AB上取點E，使∠DCE＝30°，連接AF，EF．

①直接寫出∠EAF的度數＝___________度；

②若AE＝1，BD＝2，求線段DE的長度．

Answer 1

【答案】(1)①90，2α；②相等，理由見解析；(2)①120；②．

【解析】

(1)①等腰直角三角形的性質可得出AC=BC，∠BAC=∠B=45°，證出∠ACF=∠BCD，由SAS證明出△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=45°，AF=DB，即可求解；②證出∠FCE=∠ECD即可證明△CFE≌△CDE，得出EF=DE，∠CFE=∠CDE，從而求出題①中∠AFE的度數；

(2)①由△ABC是等邊三角形得出AC=BC，∠BAC=∠B=60°，求出∠ACF=∠BCD，，證明出△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=60°即可求解；②證出∠DCE=∠FCE，由SAS證明△CFE≌△CDE，得出DE=EF，作FH⊥AE交EA的延長線于點H，解直角三角形即可求解．

解：(1)①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，

∴AC=BC，∠BAC=∠B=45°，

∵∠DCF=90°，

∴∠ACF=∠BCD，

在△ACF和△BCD中

∴△ACF≌△BCD(SAS)，

∴∠CAF=∠B=45°，AF=DB，

∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°．

②相等

∵∠ECD=45°，∠FCD=90°，

∴∠FCE=∠ECD =45°，

在△CFE和△CDE中

△CFE≌△CDE(SAS)，

∴EF=DE，∠CFE=∠CDE，

∵∠CDE=∠B+α°=45°+α°，

∴∠EFC=45°+α°，

∴∠EFC+∠AFE=∠CDB=180°-45°-α，

∴45°+α°+∠AFE=135°-α°，

∴2α°=90°-∠AFE=∠AFE，

∴∠AFE=2α°．

(2)①∵△ABC是等邊三角形，

∴AC=BC，∠BAC=∠B=60°，

又∵∠DCF=60°

∴∠ACF=∠BCD，

在△ACF和△BCD中

∴△ACF≌△BCD(SAS)，

∴∠CAF=∠B=60°，

∴∠EAF=∠CAF+∠CAE=120°．

②作FH⊥AE交EA的延長線于點H，如圖所示，

∵∠DCF=60°，∠DCE=30°，

∴∠FCE=30°，

∴∠FCE=∠DCE，

在△CFE和△CDE中

△CFE≌△CDE(SAS)，

∴DE=EF，

在Rt△AFH中

∵∠AFH=180°-120°=60°，

∴AF=BD=2，

∴AH=1，FH=，

在Rt△EFH中，EF=，

∴EF=DE=．