Question

如圖，已知在半徑為2的⊙O中有一點E，過點E的弦AB與CD互相垂直，且OE=1，
（1）求AB²+CD²的值；
（2）求證：AE²+CE²+EB²+ED²為定值；
（3）求證：AC²+BC²+BD²+AD²為定值．

Answer 1

考點：垂徑定理,勾股定理

專題：證明題

分析：（1）作輔助線“連接AO，DO，作OM⊥CD于點M，作ON⊥AB于點N”構(gòu)造矩形ENOM，然后利用勾股定理和垂徑定理，求得OM²+ON²，然后求得AB²+CD²的值；
（2）如圖，過點E作直徑PH，則EP•EH=EA•EB（相交弦定理），由代數(shù)式的變形得到：
AE²+CE²+EB²+ED²=（AE+BE）²-2AE•BE+（CE+DE）²-2CE•DE=AB²+CD²-4AE•EB=28-4AE•EB=16；
（3）如圖，連接AC、BC、AD、BD．根據(jù)勾股定理得到：AC²+BC²+BD²+AD²=2（AE²+BE²）+2（DE²+EC²），把（1）的結(jié)果代入得到定值32．

解答：解：（1）連接AO，DO，作OM⊥CD于點M，作ON⊥AB于點N，
∵DC⊥AB，OM⊥DC，ON⊥AB，
∴四邊形OMEN為矩形；
∵OM²+ME²=OE²（勾股定理），
又∵M(jìn)E²=ON²
∴OM²+ON²=OE²；
∵OM²=DO²-DM²=4-（

DC

2

）2；
又∵ON²=OA²-AN²=4-（

AB

2

）2，
∴OM²+ON²=4-（

AB

2

）2+4-（

DC

2

）2=1，
∴AB²+CD²=28；

（2）AE²+CE²+EB²+ED²=（AE+BE）²-2AE•BE+（CE+DE）²-2CE•DE=AB²+CD²-4AE•EB=28-4AE•EB．
如圖，過點E作直徑PH，則EP•EH=EA•EB，
∵EP•EH=（2-OE）（2+OE）=1×3=3
∴AE²+CE²+EB²+ED²=28-4×3=16，即AE²+CE²+EB²+ED²為定值16；

（3）如圖，連接AC、BC、AD、BD．
AC²+BC²+BD²+AD²
=2（AE²+BE²）+2（DE²+EC²）
=2×16
=32
即AC²+BC²+BD²+AD²為定值32．

點評：本題主要考查了的是垂徑定理和勾股定理．解得該題的關(guān)鍵是通過作輔助線構(gòu)建矩形OMEN，利用勾股定理、矩形的性質(zhì)以及垂徑定理將 AB²+CD²聯(lián)系在同一個等式中，然后根據(jù)代數(shù)知識求解．