Question

12．已知拋物線經(jīng)過A（-4，0）、B（0，-4）、C（2，0）三點，若點M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，△AMB的面積為S，則S的最大值為4．

Answer 1

分析 根據(jù)待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，然后過M作x軸垂線MN，三角形AMB面積=梯形MNOB面積+三角形AMN面積-三角形AOB面積，求出即可．

解答 解：設(shè)拋物線解析式為y=a（x+4）（x-2），
將B（0，-4）代入得：-4=-8a，即a=$\frac{1}{2}$，
則拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$（x+4）（x-2）=$\frac{1}{2}$x²+x-4；
過M作MN⊥x軸，設(shè)M的橫坐標(biāo)為m，則M（m，$\frac{1}{2}$m²+m-4），
∴MN=|$\frac{1}{2}$m²+m-4|=-$\frac{1}{2}$m²-m+4，ON=-m，
∵A（-4，0），B（0，-4），∴OA=OB=4，
∴△AMB的面積為S=S_△AMN+S_梯形MNOB-S_△AOB
=$\frac{1}{2}$×（4+m）×（-$\frac{1}{2}$m²-m+4）+$\frac{1}{2}$×（-m）×（-$\frac{1}{2}$m²-m+4+4）-$\frac{1}{2}$×4×4
=2（-$\frac{1}{2}$m²-m+4）-2m-8
=-m²-4m
=-（m+2）²+4，
當(dāng)m=-2時，S取得最大值，最大值為4．
故答案為4．

點評 此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求拋物線解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角形及梯形的面積求法，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．