Question

已知a，b，c是△ABC的三邊，關于x的方程x²-2（a+b）x+c²+2ab=0有等根，又sinA，sinB是關于x的方程（m+5）x²-（2m-5）x+m-8=0的兩根．
（1）求m的值；
（2）若這個三角形的外接圓面積為25π，求△ABC的內接正方形的邊長．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據方程有兩相等的實數根可判斷出△ABC是直角三角形，再根據互余兩角的三角函數關系及sinA，sinB是關于x的方程（m+5）x²-（2m-5）x+m-8=0的兩根可得出sinA+cosA=，sinAcosA=，再根據同角三角函數的關系可求出m的值；
（2）先根據三角形外接圓的面積求出其半徑及直徑的長，進而可得出sinA=或，再分正方形兩邊在三角形兩直角邊上和正方形的一條邊在三角形的斜邊上兩種情況進行討論．
解答：解：（1）∵關于x的方程x²-2（a+b）x+c²+2ab=0有等根，
∴△=4（a+b）²-4（c²+2ab）=0，即a²+b²=c²
∴△ABC是直角三角形，
在Rt△ABC中，sinB=sin（-A）=cosA，
∵sinA，sinB是關于x的方程（m+5）x²-（2m-5）x+m-8=0的兩根，
∴sinA+cosA=，sinAcosA=，
∵sin²A+cos²A=1，
∴m₁=20，m₂=4，
又∵sinA＞0，cosA＞0，
∴m=20；

（2）由已知r=5，
∴c=10由（1）可得sinA=或，
∴直角邊分別為6，8，
設正方形的邊長為t則
①若正方形兩邊在三角形兩直角邊上時，有=，∴t=
②若正方形的一條邊在三角形的斜邊上時，有=，
∴t=．
故答案為：20；，．
點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質，涉及到根的判別式、勾股定理、同角三角函數關系、互余兩角的三角函數關系及三角形的外接圓，涉及面較廣，難度較大．