Question

如圖是一個(gè)圓錐與其側(cè)面展開(kāi)圖，已知圓錐的底面半徑是2，母線長(zhǎng)是6．
（1）求這個(gè)圓錐的高和其側(cè)面展開(kāi)圖中∠ABC的度數(shù)；
（2）如果A是底面圓周上一點(diǎn)，從點(diǎn)A拉一根繩子繞圓錐側(cè)面一圈再回到A點(diǎn)，求這根繩子的最短長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)勾股定理直接求出圓錐的高，再利用圓錐側(cè)面展開(kāi)圖弧長(zhǎng)與其底面周長(zhǎng)的長(zhǎng)度關(guān)系，求出側(cè)面展開(kāi)圖中∠ABC的度數(shù)即可；
（2）首先求出BD的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出AD以及AC的長(zhǎng)即可．

解答：解：（1）圓錐的高=

62-22

=4

2

，
底面圓的周長(zhǎng)等于：2π×2=

nπ×6

180

，
解得：n=120°；
                
（2）連結(jié)AC，過(guò)B作BD⊥AC于D，則∠ABD=60°．
由AB=6，可求得BD=3，
∴AD═3

3

，
AC=2AD=6

3

，
即這根繩子的最短長(zhǎng)度是6

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓錐的計(jì)算；得到圓錐的底面圓的周長(zhǎng)和扇形弧長(zhǎng)相等是解決本題的突破點(diǎn)．