Question

【題目】如圖，直線 y＝－2x＋4分別與 y 軸、x 軸交于點(diǎn) A、點(diǎn) B，點(diǎn) C 的坐標(biāo)為(－2，0)，D 為線段 AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接 CD 交 y 軸于點(diǎn) E．

（1）求出點(diǎn) A、點(diǎn) B 的坐標(biāo)；

（2）若，求點(diǎn) D 的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn) N 在 x 軸上，直線 AB 上是否存在點(diǎn) M，使以 M，N，D，E 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在，請(qǐng)直接寫出 M 點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A(0，4)，B(2，0) ；（2）D(1，2)；（3）存在，M( , )或 M( ,-)．

【解析】

(1)先令求出y的值，再令y=0求出x的值即可得出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)根據(jù)題意得，利用三角形面積公式可求得=2，從而求得點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)利用待定系數(shù)法求得直線CD的解析式，得到點(diǎn)E的坐標(biāo)，分點(diǎn)N在線段OB上、點(diǎn)N在OB延長(zhǎng)線上兩種情況討論，求得直線MN的解析式，利用求得兩直線交點(diǎn)的方法即可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)．

(1)對(duì)于直線 y=-2x+4，

令，則，令，則，

∴A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0，4)、(2，0)；

(2)∵，

∴，

∴×4×yD=×4×2，

∴=2，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，2)；

(3)設(shè)直線CD的解析式為，

把點(diǎn)C、D的坐標(biāo)(-2，0)、(1，2)代入得：，

解得：，

∴直線CD的解析式為，

令，則，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0，)；

①當(dāng)點(diǎn)N在線段OB上時(shí)，DENM為平行四邊形，如圖：

過E作EF∥OB交AB于點(diǎn)F，

∵點(diǎn)F在直線 y=-2x+4上，

∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)與點(diǎn)E的縱坐標(biāo)相等，

∴=-2x+4，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(，)，

∵DENM為平行四邊形，

∴EN∥DM，EN=DM，DE=MN，MN∥CD，

∵EF∥OB，

∴四邊形EFBN也為平行四邊形，

∴BN=EF=，

∴ON=2-=，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(，0)，

設(shè)直線MN的解析式為，

將點(diǎn)N的坐標(biāo)為(，0)代入得：，

∴直線MN的解析式為，

解方程組得：，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)；

②當(dāng)點(diǎn)N在OB延長(zhǎng)線上時(shí)，DENM為平行四邊形，如圖：

同理：BN=EF=，

∴ON=2+=，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(，0)，

設(shè)直線MN的解析式為，

將點(diǎn)N的坐標(biāo)為(，0)代入得：，

∴直線MN的解析式為，

解方程組得：，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)；

綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)或(，) ．