【題目】已知:如下圖, ABCD , 點(diǎn)EF分別為ABCD上一點(diǎn).
(1)在AB , CD之間有一點(diǎn)M(點(diǎn)M不在線段EF上),連接ME , MF , 試探究∠AEM , ∠EMF , ∠MFC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系. 請(qǐng)補(bǔ)全圖形,并在圖形下面寫出相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系,選其中一個(gè)進(jìn)行證明.

(2)如下圖,在AB , CD之間有兩點(diǎn)M , N , 連接MEMN , NF , 請(qǐng)選擇一個(gè)圖形寫出∠AEM , ∠EMN , ∠MNF , ∠NFC 存在的數(shù)量關(guān)系(不需證明).

【答案】
(1)

解:∠EMF=∠AEM+∠MFC.

證明:過(guò)點(diǎn)MMPAB.

ABCD,

MPCD.

∴∠4=∠3.

MPAB,

∴∠1=∠2.

∵∠EMF=∠2+∠3,

∴∠EMF=∠1+∠4.

∴∠EMF=∠AEM+∠MFC.

AEM+∠EMF+∠MFC=360°

證明:過(guò)點(diǎn)MMQAB.

ABCD,

MQCD.

∴∠CFM+∠1=180°.

MQAB,

∴∠AEM+∠2=180°.

∴∠CFM+∠1+∠AEM+∠2=360°

∵∠EMF=∠1+∠2

∴∠AEM+∠EMF+∠MFC=360°.


(2)

解:第一圖數(shù)量關(guān)系:∠EMN+∠MNFAEMNFC=180°.

第二圖數(shù)量關(guān)系:∠EMNMNF+∠AEM+∠NFC=180°.


【解析】(1)分點(diǎn)M在EF的左側(cè)和右側(cè)兩種情況,當(dāng)點(diǎn)M在EF的左側(cè)時(shí),如圖,∠EMF=∠AEM+∠MFC,過(guò)點(diǎn)M作MP∥AB,可得AB∥CD∥MP, 根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠4=∠3, ∠1=∠2,即可證得∠EMF=∠AEM+∠MFC;當(dāng)點(diǎn)M在EF的右側(cè)時(shí),類比左側(cè)的方法即可證∠AEM+∠EMF+∠MFC=360°;
(2)類比(1)的方法作平行線,利用平行線的性質(zhì)即可解決.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握由角的相等或互補(bǔ)(數(shù)量關(guān)系)的條件,得到兩條直線平行(位置關(guān)系)這是平行線的判定;由平行線(位置關(guān)系)得到有關(guān)角相等或互補(bǔ)(數(shù)量關(guān)系)的結(jié)論是平行線的性質(zhì)才能正確解答此題.

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(2)t為何值時(shí),1號(hào)車第三次恰好經(jīng)過(guò)景點(diǎn)C?并直接寫出這一段時(shí)間內(nèi)它與2號(hào)車相遇過(guò)的次數(shù).
(3)發(fā)現(xiàn):如圖2,游客甲在BC上的一點(diǎn)K(不與點(diǎn)B,C重合)處候車,準(zhǔn)備乘車到出口A,設(shè)CK=x米. 情況一:若他剛好錯(cuò)過(guò)2號(hào)車,便搭乘即將到來(lái)的1號(hào)車;
情況二:若他剛好錯(cuò)過(guò)1號(hào)車,便搭乘即將到來(lái)的2號(hào)車.
比較哪種情況用時(shí)較多?(含候車時(shí)間)
決策:己知游客乙在DA上從D向出口A走去.步行的速度是50米/分.當(dāng)行進(jìn)到DA上一點(diǎn)P (不與點(diǎn)D,A重合)時(shí),剛好與2號(hào)車迎面相遇.
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