Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，OA=3，OC=4，P為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，將直線OP繞點(diǎn)P逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°交直線BC于點(diǎn)Q；
（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)（不與A，B重合）時(shí)，求證：OA•BQ=AP•BP；
（2）在（1）成立的條件下，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，線段CQ的長度為l，求出l關(guān)于m的函數(shù)解析式，并判斷l(xiāng)是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知利用相似三角形的判定得到△AOP∽△BPQ，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得到OA•BQ=AP•BP；
（2）由第一問可求得BQ的值，從而求得l=3-

4m-m2

3

，所以可得到當(dāng)m=2時(shí)，l有最小值求出即可．

解答：（1）證明：∵PO⊥PQ，
∴∠APO+∠BPQ=90°，
在Rt△AOP中，∠APO+∠AOP=90°，
∴∠BPQ=∠AOP，
又∵∠OAB=∠PBQ=90°，
∴△OAP∽△PBQ，
則

AP

OA

=

BQ

BP

，
即OA•BQ=AP•BP．

（2）解：∵OA•BQ=AP•BP，
即BQ=

m(4-m)

3

，
∴l(xiāng)=3-

4m-m2

3

，
=

1

3

（m²-4m+4）+

5

3

，
=

1

3

（m-2）²+

5

3

，
∴當(dāng)m=2時(shí)，l有最小值

5

3

．

點(diǎn)評：此題考查了等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定、矩形的性質(zhì)及二次函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，根據(jù)已知得出△OAP∽△PBQ是解題關(guān)鍵．