Question

（2013•海陵區(qū)模擬）已知點(diǎn)A是雙曲線y=

3

x

在第一象限上的一動(dòng)點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交另一分支于點(diǎn)B，以AB為一邊作等邊三角形ABC，點(diǎn)C在第四象限，隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C的位置也不斷的變化，但始終在一函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)，則這個(gè)函數(shù)的解析式為

y=-

9

x

（x≠0）

．

Answer 1

分析：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，

3

a

），連接OC，則OC⊥AB，表示出OC，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，設(shè)出點(diǎn)C坐標(biāo)，在Rt△OCD中，利用勾股定理可得出x²的值，繼而得出y與x的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：設(shè)A（a，

3

a

），
∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴OA=OB，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB⊥OC，OC=

3

AO，
∵AO=

a2+( 3 a )2

，
∴CO=

3a2+ 27 a2

，

過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，
則可得∠AOD=∠OCD（都是∠COD的余角），
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），則tan∠AOD=tan∠OCD，即

3 a

a

=

x

-y

，
解得：y=-

a2

3

x，
在Rt△COD中，CD²+OD²=OC²，即y²+x²=3a²+

27

a2

，
將y=-

a2

3

x代入，可得：x²=

27

a2

，
故x=

3 3

a

，y=-

a2

3

x=-

3

a，
則xy=-9，
故可得：y=-

9

x

（x≠0）．
故答案為：y=-

9

x

（x≠0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，涉及了解直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理的知識(shí)，綜合考察的知識(shí)點(diǎn)較多，解答本題的關(guān)鍵是將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，注意培養(yǎng)自己解答綜合題的能力．