Question

如圖，已知△ABC是面積為的等邊三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC與DE相交于點F，則△AEF的面積等于多少？（結(jié)果保留根號）．

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)AB=2AD，△ABC∽△ADE，△ABC是面積為求出△ADE的面積，再判斷出△ADE的形狀，根據(jù)等邊三角形的面積求出AE的長，作FG⊥AE于G，由等邊三角形及直角三角形的性質(zhì)判斷出△AFG是等腰直角三角形，設(shè)AG=FG=h，在直角三角形FGE中利用銳角三角函數(shù)的定義即可求出h的值，根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論．
解答：解：∵AB=2AD，
∴=2，
又∵△ABC∽△ADE，△ABC是面積為，
∴=4，
∴S_△ADE=，
∵△ABC∽△ADE，△ABC是等邊三角形，
∴△ADE也是等邊三角形，其面積為AE•AE•sin60°=，
即AE²=，
∴AE=1，
作FG⊥AE于G，
∵∠BAD=45°，∠BAC=∠EAD=60°，
∴∠EAF=45°，
∴△AFG是等腰直角三角形，
設(shè)AG=FG=h，在直角三角形FGE中，
∵∠E=60°，EG=1-h，F(xiàn)G=h，
∴tan∠E=，即tan60°=，解得h=，
∴S_△AEF=×1×=．
點評：本題考查的是相似三角形的性質(zhì)及等邊三角形的判定定理、等腰直角三角形的判定，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出等腰直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．