Question

如圖1，點O在線段AB上，AO=2，OB=1，OC為射線，且∠BOC=60°，動點P以每秒2個單位長度的速度從點O出發(fā)，沿射線OC做勻速運動，設運動時間為t秒.

（1）當t=秒時，則OP=      ，S_△ABP=            ；

（2）當△ABP是直角三角形時，求t的值；

（3）如圖2，當AP=AB時，過點A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求證：AQ·BP=3.為了證明AQ·BP=3，小華同學嘗試過O點作OE∥AP交BP于點E.試利用小華同學給我們的啟發(fā)補全圖形并證明AQ·BP=3．

		28題圖2
		28題備用圖
	28題圖1

Answer 1

.解：（1）1，；…………………………………… 2分

（2）①∵∠A<∠BOC=60°，

∴∠A不可能是直角.

②當∠ABP=90°時，

∵∠BOC=60°，

∴∠OPB=30°.

∴OP=2OB，即2t=2.

∴t=1. …………………………………… 3分

③當∠APB=90°，如圖，過點P作PD⊥AB于點D，則OP=2t，OD=t，PD=，AD=，DB=.

∵∠APD+∠BPD=90°，∠B+∠BPD=90°，∴∠APD=∠B. ∴△APD∽△PBD.

∴，即，即，解得（舍去）.

…………………………………… 4分

（3）補全圖形，如圖

∵AP=AB，

∴∠APB=∠B.

∵OE∥AP

∴∠OEB=∠APB=∠B.

∵AQ∥BP，

∴∠QAB+∠B=180°.

又∵∠3+∠OEB=180°，

∴∠3=∠QAB.

又∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP，

∵∠B=∠QOP，

∴∠1=∠2.

∴△QAO∽△OEP.

∴，即AQ·EP=EO·AO.

∵OE∥AP，

∴△OBE∽△ABP.

∴.

∴OE=AP=1，BP=EP.

∴AQ·BP=AQ·EP=AO·OE=×2×1=3. …………………………………… 6分